Давайте разберем каждую задачу по порядку.
Задача 1
Условие: Стороны параллелограмма равны 8 и 10 см, угол между ними 60°. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
Площадь параллелограмма ( S ) можно найти по формуле:
[ S = a \times b \times \sin(\theta), ]
где ( a ) и ( b ) — стороны параллелограмма, а ( \theta ) — угол между ними.
Подставим данные:
[ S = 8 \times 10 \times \sin(60^\circ). ]
Значение (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}).
Тогда:
[ S = 8 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3}. ]
Задача 2
Условие: Найдите площадь параллелограмма, у которого стороны равны 8 и 6 см, а угол равен 45°.
Решение:
Используем ту же формулу для площади:
[ S = a \times b \times \sin(\theta). ]
Подставим данные:
[ S = 8 \times 6 \times \sin(45^\circ). ]
Значение (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}).
Тогда:
[ S = 8 \times 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 24\sqrt{2}. ]
Задача 3
Условие: В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 6, а меньшая боковая сторона равна (2\sqrt{3}). Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен 120°.
Решение:
В прямоугольной трапеции один из углов равен 90°. Рассмотрим трапецию, где угол между меньшей боковой стороной и большим основанием равен 120°. Тогда угол между меньшей боковой стороной и меньшим основанием равен (180^\circ - 120^\circ = 60^\circ).
Используем тригонометрию, чтобы найти большую высоту. Если обозначить меньшую боковую сторону как ( h ), то:
[ h = 2\sqrt{3}. ]
Проекция на высоту:
[ \text{высота} = h \times \sin(60^\circ) = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3. ]
Теперь можем найти площадь трапеции ( S ) по формуле:
[ S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times \text{высота}, ]
где ( a = 6 ) и ( b ) — большее основание. Однако, так как трапеция прямоугольная, большее основание ( b = a + \text{высота} \cdot \cot(60^\circ) = 6 + 3 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 6 + 3\sqrt{3} ).
Подставим:
[ S = \frac{1}{2} \times (6 + 6 + 3\sqrt{3}) \times 3 = \frac{1}{2} \times (12 + 3\sqrt{3}) \times 3. ]
[ S = \frac{1}{2} \times (36 + 9\sqrt{3}) = 18 + 4.5\sqrt{3}. ]
Задача 4
Условие: В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 5, а высота равна (\sqrt{3}). Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен 150°.
Решение:
Угол при одном основании равен 150°, тогда угол при другом основании равен (180^\circ - 150^\circ = 30^\circ).
В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, и мы можем найти их, используя высоту и угол в 30°. Если обозначить боковую сторону как ( l ), то:
[ \text{высота} = l \times \sin(30^\circ) = \sqrt{3}. ]
Значение (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}).
Тогда:
[ l = \frac{\sqrt{3}}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{1/2} = 2\sqrt{3}. ]
Теперь, найдём проекцию боковой стороны на основание:
[ \text{основание} = l \times \cos(30^\circ) = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3. ]
Большее основание ( b = 5 + 2 \times 3 = 11 ).
Площадь трапеции ( S ) равна:
[ S = \frac{1}{2} \times (5 + 11) \times \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 16 \times \sqrt{3} = 8\sqrt{3}. ]
Таким образом, мы нашли площади для всех четырех задач.
