Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам.

Для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве по их координатам (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) используется формула расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Где d - расстояние между точками, x1, y1, z1 - координаты первой точки, x2, y2, z2 - координаты второй точки.

Для вычисления расстояния между двумя точками с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) используется формула расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости, заданными их координатами, используется формула, выведенная из теоремы Пифагора. Пусть у нас есть две точки A и B с координатами ( A(x_1, y_1) ) и ( B(x_2, y_2) ).

Шаги для получения формулы:

1. Рассмотрим разность координат по каждой оси. Для оси x разность будет ( \Delta x = x_2 - x_1 ), а для оси y — ( \Delta y = y_2 - y_1 ).

2. Представим, что точки A и B являются вершинами прямоугольного треугольника, где ( \Delta x ) и ( \Delta y ) — это длины катетов. Гипотенуза этого треугольника будет равна расстоянию между точками A и B.

3. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (расстояние между точками) равен сумме квадратов катетов: [ d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 ] где ( d ) — это расстояние между точками A и B.

4. Чтобы найти расстояние ( d ), извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения: [ d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} ]

Подставив выражения для ( \Delta x ) и ( \Delta y ), получим окончательную формулу для вычисления расстояния между точками A и B: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Эта формула является классическим способом вычисления расстояния между двумя точками в двумерном пространстве. Если же вы работаете в трёхмерном пространстве, то для точек с координатами ( A(x_1, y_1, z_1) ) и ( B(x_2, y_2, z_2) ) формула расширяется следующим образом: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

Таким образом, формула для расстояния между точками основана на геометрических принципах и является простым применением теоремы Пифагора.