Высоты треугольника АВС, проведенные к сторонам АВ и АС, равны соответственно 9 см и 12 см. Найдите...

Для решения задачи воспользуемся формулой для площади треугольника, которая может быть записана через основание и высоту. Площадь треугольника можно выразить через каждую из его сторон и соответствующую высоту.

Обозначим:

• ( AB = c = 24 \, \text{см} )
• ( AC = b )
• ( BC = a )
• ( h_1 = 9 \, \text{см} ) — высота, проведенная из вершины C к стороне AB
• ( h_2 = 12 \, \text{см} ) — высота, проведенная из вершины B к стороне AC

Сначала найдем площадь треугольника ABC, используя сторону AB и высоту ( h_1 ):

[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108 \, \text{см}^2. ]

Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя сторону AC и высоту ( h_2 ):

[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2. ]

Так как обе площади равны, можно приравнять их:

[ 108 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 12. ]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

[ 216 = b \cdot 12. ]

Теперь найдем сторону AC (b):

[ b = \frac{216}{12} = 18 \, \text{см}. ]

Таким образом, длина стороны AC равна 18 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством высот в треугольнике и понятием площади.

1. Свойство площади треугольника

Площадь треугольника ( S ) можно выразить через основу и высоту, проведённую к этой основе. Для треугольника ( ABC ) это будет: [ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h{AB} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h{AC} ] где:

• ( h_{AB} = 9 \, \text{см} ) — высота, проведённая к стороне ( AB ),
• ( AB = 24 \, \text{см} ) — длина стороны ( AB ),
• ( h_{AC} = 12 \, \text{см} ) — высота, проведённая к стороне ( AC ),
• ( AC ) — длина стороны ( AC ), которую нужно найти.

2. Выразим площадь ( S ) через ( AB ) и ( h_{AB} )

[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108 \, \text{см}^2 ]

Итак, площадь треугольника ( ABC ) равна ( 108 \, \text{см}^2 ).

3. Выразим площадь ( S ) через ( AC ) и ( h_{AC} )

[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{AC} ]

Подставим известное значение ( S = 108 \, \text{см}^2 ) и ( h_{AC} = 12 \, \text{см} ): [ 108 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 12 ]

4. Упростим уравнение и найдём ( AC )

[ 108 = 6 \cdot AC ] [ AC = \frac{108}{6} = 18 \, \text{см} ]

5. Ответ

Длина стороны ( AC ) равна ( 18 \, \text{см} ).