Высота, проведённая из вершины тупого угла прямоугольной трапеции, составляет с боковой стороной угол...

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту трапеции. Поскольку высота проведена из вершины тупого угла, то мы имеем дело с прямоугольным треугольником.

Из условия задачи известно, что угол между боковой стороной и высотой равен 45 градусов. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник с катетами 4 и h (где h - искомая высота) и гипотенузой 8.

С помощью тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике можно найти высоту: sin(45°) = h / 8 h = 8 sin(45°) h = 8 √2 / 2 h = 4√2

Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу: S = (a + b) * h / 2 где a и b - основания трапеции, h - высота.

Подставляем известные значения: S = (8 + 4) 4√2 / 2 S = 12 4√2 / 2 S = 24√2

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна 24√2 квадратных сантиметра.

Дано:

• Прямоугольная трапеция (ABCD) с основаниями (AB = 8) см и (CD = 4) см.
• Высота (h), проведённая из вершины тупого угла (D), составляет с боковой стороной (AD) угол (45^\circ).

Найти: площадь трапеции (S).

Решение:

1. Обозначим вершины трапеции следующим образом: (ABCD), где (AB) и (CD) — основания, (AD) и (BC) — боковые стороны, и (AD \perp AB).

2. Высота (h) проведена из вершины тупого угла (D) и опускается на основание (AB). Пусть (DH) — это высота, где (H) — точка пересечения высоты с основанием (AB).

3. Поскольку (DH) составляет угол (45^\circ) с боковой стороной (AD), то треугольник (ADH) является прямоугольным и равнобедренным (так как угол при (D) равен (45^\circ)).

4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике (ADH), катеты равны, поэтому (DH = AH = h).

5. Так как (AB = 8) см и (H) делит отрезок (AB) на два участка (AH) и (HB), где (AH = h), то длина отрезка (HB) будет равна (8 - h).

6. Теперь рассмотрим отрезок (DC = 4) см. Поскольку (DH) перпендикулярен (AB), то (DH) (высота) также является перпендикуляром к (DC), и (DC) параллелен (AB).

7. Тогда (HC = DC = 4) см, и (HB = 8 - h). Чтобы найти (h), нужно решить уравнение: [ 8 - h = 4 \implies h = 4 \text{ см} ]

8. Теперь у нас есть все данные для нахождения площади трапеции. Площадь (S) трапеции рассчитывается по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h ] где (a) и (b) — основания трапеции, а (h) — высота.

9. Подставим известные значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot (8 + 4) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24 \text{ см}^2 ]

Ответ: Площадь трапеции составляет (24) квадратных сантиметра.