Высота правильной шестиугольной призмы равна 8 см, а диагональ боковой грани - 13 см. Найдите радиус...

Для нахождения радиуса описанного шара правильной шестиугольной призмы можно воспользоваться формулой:

[ R = \sqrt{h^2 + r^2} ]

где ( h ) — высота призмы, а ( r ) — радиус описанной окружности основания.

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности ( r ) равен длине диагонали боковой грани, делённой на 2:

[ r = \frac{d}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ см} ]

Теперь подставим значения в формулу для нахождения радиуса описанного шара:

[ R = \sqrt{8^2 + 6.5^2} = \sqrt{64 + 42.25} = \sqrt{106.25} \approx 10.31 \text{ см} ]

Таким образом, радиус описанного шара равен примерно 10.31 см.

Для решения задачи начнем с анализа правильной шестиугольной призмы. Правильная шестиугольная призма состоит из двух оснований (правильных шестиугольников) и шести боковых граней, каждая из которых является прямоугольником.

1. Определим параметры призмы. Высота ( h ) призмы равна 8 см. Диагональ боковой грани равна 13 см.

2. Рассмотрим боковую грань. Боковая грань представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна длине стороны шестиугольника ( a ), а другая сторона равна высоте призмы ( h ). Таким образом, диагональ ( d ) боковой грани может быть найдена по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{a^2 + h^2} ] Подставим известные значения: [ 13 = \sqrt{a^2 + 8^2} ] Возведем в квадрат обе стороны: [ 169 = a^2 + 64 ] Отсюда: [ a^2 = 169 - 64 = 105 ] Таким образом, длина стороны шестиугольника: [ a = \sqrt{105} ]

3. Найдем радиус описанного шара. Радиус ( R ) описанного шара для правильной шестиугольной призмы можно найти по формуле: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{h^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)^2} ] Здесь ( \frac{\sqrt{3}}{2} a ) — это расстояние от центра шестиугольника до его вершины, то есть радиус описанной окружности шестиугольника.

   Найдем ( R ): [ R = \frac{\sqrt{105}}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{8^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{105}\right)^2} ] Сначала найдем ( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{105} ): [ \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{105} = \frac{\sqrt{315}}{2} = \frac{\sqrt{3 \cdot 105}}{2} ] Теперь подставим это значение: [ R = \frac{\sqrt{105}}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{64 + \frac{315}{4}} ] Приведем ( 64 ) к общему знаменателю: [ 64 = \frac{256}{4} ] Таким образом: [ R = \frac{\sqrt{105}}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\frac{256 + 315}{4}} = \frac{\sqrt{105}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{571}}{2} ] Упростим: [ R = \frac{\sqrt{105 \cdot 571}}{2\sqrt{3}} ]

Теперь можно подставить значения и вычислить ( R ): [ R \approx \frac{\sqrt{60000}}{2\sqrt{3}} \approx \frac{245}{2\sqrt{3}} \approx 70.71 \text{ (приблизительно)} ]

Таким образом, радиус описанного шара равен ( R \approx 70.71 \text{ см} ).

Для решения задачи найдем радиус описанной сферы вокруг правильной шестиугольной призмы. Разберем задачу по шагам.

Дано:

1. Высота призмы ( h = 8 \, \text{см} ),
2. Диагональ боковой грани ( d = 13 \, \text{см} ),
3. Призма правильная шестиугольная, то есть её основание — правильный шестиугольник.

Нужно найти радиус ( R ) описанной сферы.

Шаг 1. Связь диагонали боковой грани с другими элементами призмы

Боковая грань правильной шестиугольной призмы представляет собой прямоугольник, одна из сторон которого равна стороне основания шестиугольника (( a )), а другая сторона равна высоте призмы (( h )).

Диагональ боковой грани равна: [ d = \sqrt{a^2 + h^2}. ] Подставим известные значения ( d = 13 ) и ( h = 8 ), чтобы найти ( a ): [ 13 = \sqrt{a^2 + 8^2}, ] [ 13 = \sqrt{a^2 + 64}. ] Возведем обе стороны в квадрат: [ 169 = a^2 + 64, ] [ a^2 = 169 - 64 = 105, ] [ a = \sqrt{105}. ] Таким образом, сторона основания шестиугольника равна ( a = \sqrt{105} ).

Шаг 2. Радиус описанной окружности основания

Правильный шестиугольник можно вписать в окружность, радиус которой равен радиусу описанной окружности. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен: [ R{\text{осн}} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}. ] Подставим ( a = \sqrt{105} ): [ R{\text{осн}} = \frac{\sqrt{105} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{315}}{2}. ]

Шаг 3. Радиус описанной сферы

Радиус описанной сферы вокруг призмы равен расстоянию от центра основания до наиболее удаленной вершины призмы. Это расстояние можно найти с использованием теоремы Пифагора в трёхмерном пространстве.

Центр основания правильной шестиугольной призмы находится в центре описанной окружности основания. Самая удалённая вершина от центра находится на верхнем основании призмы. Расстояние между центром основания и этой вершиной равно: [ R = \sqrt{R{\text{осн}}^2 + h^2}. ] Подставим ( R{\text{осн}} = \frac{\sqrt{315}}{2} ) и ( h = 8 ): [ R = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{315}}{2}\right)^2 + 8^2}. ] Вычислим: [ \left(\frac{\sqrt{315}}{2}\right)^2 = \frac{315}{4}, ] [ 8^2 = 64. ] Подставим: [ R = \sqrt{\frac{315}{4} + 64}. ] Приведём к общему знаменателю: [ 64 = \frac{256}{4}, ] [ R = \sqrt{\frac{315 + 256}{4}} = \sqrt{\frac{571}{4}} = \frac{\sqrt{571}}{2}. ]

Ответ:

Радиус описанной сферы равен: [ R = \frac{\sqrt{571}}{2} \, \text{см}. ]