Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 9 см и 16 см....

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством подобных треугольников, а именно тем, что высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два подобных треугольника.

Пусть меньший катет треугольника равен х. Тогда, по теореме Пифагора, гипотенуза равна √(x^2 + 9^2) и √(x^2 + 16^2). Так как высота делит гипотенузу на отрезки длиной 9 см и 16 см, то мы можем составить пропорцию:

9/x = x/16.

Решив эту пропорцию, мы найдем, что х = 12 см.

Таким образом, меньший катет треугольника равен 12 см.

Чтобы найти меньший катет прямоугольного треугольника, воспользуемся свойствами высоты, проведенной к гипотенузе. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой ( c ) и высотой ( h ), проведенной к гипотенузе, верно следующее соотношение:

[ h^2 = p \cdot q, ]

где ( p ) и ( q ) — отрезки, на которые высота делит гипотенузу. В нашем случае ( p = 9 ) см и ( q = 16 ) см. Следовательно,

[ h^2 = 9 \cdot 16 = 144. ]

Отсюда находим высоту:

[ h = \sqrt{144} = 12 \text{ см}. ]

Теперь применим теорему о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике: высота, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим двух проекций катетов на гипотенузу. То есть:

[ h = \frac{ab}{c}, ]

где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза. Мы также знаем, что

[ c = p + q = 9 + 16 = 25 \text{ см}. ]

Так как ( h = 12 ) см, и используя формулу для высоты:

[ 12 = \frac{ab}{25}. ]

Отсюда

[ ab = 12 \cdot 25 = 300. ]

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения катетов. Пусть ( a ) — меньший катет, а ( b ) — больший катет. Тогда:

[ a^2 + b^2 = 25^2 = 625. ]

У нас есть две уравнения:

1. ( ab = 300, )
2. ( a^2 + b^2 = 625. )

Решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим ( b ):

[ b = \frac{300}{a}. ]

Подставим это во второе уравнение:

[ a^2 + \left(\frac{300}{a}\right)^2 = 625. ]

Упростим:

[ a^2 + \frac{90000}{a^2} = 625. ]

Умножим всё на ( a^2 ) для избавления от дроби:

[ a^4 - 625a^2 + 90000 = 0. ]

Это квадратное уравнение относительно ( a^2 ). Обозначим ( x = a^2 ), тогда:

[ x^2 - 625x + 90000 = 0. ]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = 625^2 - 4 \cdot 90000 = 390625 - 360000 = 30625. ]

Корень из дискриминанта:

[ \sqrt{30625} = 175. ]

Теперь найдём корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{625 \pm 175}{2}. ]

Получаем:

[ x_1 = \frac{800}{2} = 400, ] [ x_2 = \frac{450}{2} = 225. ]

Так как ( x = a^2 ), то:

[ a^2 = 225 \quad \text{или} \quad a^2 = 400. ]

Следовательно, ( a = 15 ) см или ( a = 20 ) см.

Меньший катет — это 15 см.