Высота прямоугольного треугольника опущена на гипотенузу равна 24 см и делит ее на отрезки, которые...

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника.

Пусть катеты треугольника равны a и b, гипотенуза равна c, а его высота опущена на гипотенузу - h.

Из условия задачи мы знаем, что h = 24 см и отношение отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равно 9:16. То есть, можно записать уравнения:

a/h = 9/16 b/h = 16/9

Так как h = 24 см, то a = 24 9 / 16 = 13.5 см и b = 24 16 / 9 = 42.67 см

Теперь можем применить теорему Пифагора для нахождения гипотенузы c:

c = √(a^2 + b^2) = √(13.5^2 + 42.67^2) ≈ √(182.25 + 1818.16) ≈ √(2000.41) ≈ 44.72 см

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен a + b + c = 13.5 + 42.67 + 44.72 ≈ 100.89 см.

Для нахождения периметра прямоугольного треугольника необходимо знать длины всех его сторон. Давайте рассмотрим наш треугольник и используем данную информацию для вычислений.

Обозначим прямоугольный треугольник как ( \triangle ABC ), где ( \angle C = 90^\circ ). Пусть ( AB ) — гипотенуза, ( CH ) — высота, опущенная на гипотенузу, а точки ( H ) — основание высоты.

Дано: [ CH = 24 \text{ см} ] [ \frac{AH}{HB} = \frac{9}{16} ]

Обозначим: [ AH = 9x ] [ HB = 16x ]

Тогда гипотенуза ( AB ) равна: [ AB = AH + HB = 9x + 16x = 25x ]

Высота ( CH ), опущенная на гипотенузу ( AB ), делит треугольник ( \triangle ABC ) на два подобных треугольника: ( \triangle AHC ) и ( \triangle CHB ). Также, высота ( CH ) в прямоугольном треугольнике можно найти через формулу: [ CH = \frac{a \cdot b}{c} ] где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза.

Используя теорему о площади треугольника, можно вывести, что: [ CH^2 = AH \cdot HB ] Подставим наши обозначения: [ 24^2 = 9x \cdot 16x ] [ 576 = 144x^2 ] [ x^2 = \frac{576}{144} = 4 ] [ x = 2 ]

Теперь можем найти длины отрезков ( AH ) и ( HB ): [ AH = 9x = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см} ] [ HB = 16x = 16 \cdot 2 = 32 \text{ см} ]

Гипотенуза ( AB ): [ AB = 25x = 25 \cdot 2 = 50 \text{ см} ]

Теперь найдем катеты ( AC ) и ( BC ) с использованием теоремы Пифагора. Для этого применим формулу: [ a^2 = c \cdot AH ] [ b^2 = c \cdot HB ]

где ( a ) и ( b ) — катеты, ( c ) — гипотенуза.

Для катета ( AC ): [ AC^2 = AB \cdot AH ] [ AC^2 = 50 \cdot 18 ] [ AC^2 = 900 ] [ AC = \sqrt{900} = 30 \text{ см} ]

Для катета ( BC ): [ BC^2 = AB \cdot HB ] [ BC^2 = 50 \cdot 32 ] [ BC^2 = 1600 ] [ BC = \sqrt{1600} = 40 \text{ см} ]

Теперь можем найти периметр треугольника ( \triangle ABC ): [ P = AB + AC + BC ] [ P = 50 + 30 + 40 ] [ P = 120 \text{ см} ]

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен 120 см.