Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 5 см, а двугранный угол при стороне основания...

Площадь поверхности пирамиды равна S = 3 a h, где a - длина стороны основания, h - высота пирамиды. По условию, a = 5 см, h = 5 см. Таким образом, S = 3 5 5 = 75 см².

Для того чтобы найти площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, нужно разбить её на боковую поверхность и основание.

Боковая поверхность пирамиды представляет собой три равносторонних треугольника, у которых высота равна данной высоте пирамиды (5 см), а основание - сторона правильного треугольника, образующего основание пирамиды. Таким образом, площадь боковой поверхности равна Sбок = 3 (1/2 a * h), где a - сторона основания, h - высота.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле Sосн = (a^2 * √3) / 4, где a - сторона треугольника.

Таким образом, общая площадь поверхности пирамиды будет равна S = Sбок + Sосн. Подставляя известные значения, получим:

S = 3 (1/2 a h) + (a^2 √3) / 4 = 3 (1/2 a 5) + (a^2 √3) / 4 = 15a + (a^2 * √3) / 4

Для нахождения площади поверхности пирамиды необходимо также найти значение стороны треугольника a. Для этого воспользуемся тем фактом, что угол при основании пирамиды равен 45 градусам. Поскольку у нас правильный треугольник, то угол при вершине будет равен 90 градусам. Таким образом, у нас получится прямоугольный треугольник, в котором известны гипотенуза (a) и один катет (5 см). Используя тригонометрические функции, можно найти значение стороны треугольника a.

После нахождения значения стороны треугольника a, подставляем его обратно в формулу для площади поверхности пирамиды, чтобы получить окончательный ответ.

Чтобы найти площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно вычислить площадь её основания и площади трёх боковых граней.

Шаг 1: Площадь основания

Основание пирамиды – это правильный треугольник. Высота такого треугольника равна 5 см. Для правильного треугольника с высотой ( h ) и стороной ( a ) существует соотношение: [ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a ] Откуда ( a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 5}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.77 ) см.

Площадь основания ( S{\text{осн}} ) можно вычислить по формуле: [ S{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{100}{3} = \frac{25\sqrt{3}}{3} \approx 14.43 \text{ см}^2 ]

Шаг 2: Площадь боковых граней

Каждая боковая грань – это равнобедренный треугольник с основанием ( a ) и высотой, падающей на основание из вершины пирамиды. Двугранный угол при основании 45 градусов означает, что угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани составляет 45 градусов.

Высота ( h_v ) вершины пирамиды до плоскости основания может быть найдена через тригонометрические соотношения, рассматривая треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности в основание ( r ) и гипотенузой, равной ( h_v ): [ r = \frac{h}{3} = \frac{5}{3} \text{ см} ] [ h_v = r \times \tan 45^\circ = \frac{5}{3} \text{ см} ]

Теперь найдем площадь одной боковой грани ( S{\text{бок}} ): [ S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times a \times h_v = \frac{1}{2} \times \frac{10}{\sqrt{3}} \times \frac{5}{3} = \frac{25}{3\sqrt{3}} \approx 4.81 \text{ см}^2 ]

Шаг 3: Общая площадь поверхности

Площадь поверхности пирамиды составляет: [ S{\text{пов}} = S{\text{осн}} + 3 \times S_{\text{бок}} = \frac{25\sqrt{3}}{3} + 3 \times \frac{25}{3\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{3} + \frac{25}{\sqrt{3}} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \approx 57.74 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности правильной треугольной пирамиды примерно равна 57.74 см².