высота конуса равна 6см угол при вершине осевого сечения равен 120градусов найдите:а)площадь боковой поверхности конуса
б)площадь полной поверхности конуса
в)площадь сечения конуса плоскостью проходящей через две образующей , угол между которыми 30 градусов
Для решения задачи нам нужно сначала найти радиус основания конуса и его образующую. Учитывая, что угол при вершине осевого сечения конуса равен 120 градусов, осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник с углом 120 градусов при вершине и двумя углами по 30 градусов у основания.
а) Площадь боковой поверхности конуса
Найдем радиус основания, R. Осевое сечение делит угол 120 градусов пополам, так что каждый из двух равных углов при основании будет равен 60 градусов. Треугольник, содержащий высоту (6 см), радиус (R) и образующую (l) является прямоугольным, где угол при вершине, противолежащий радиусу, равен 60 градусов. Следовательно, радиус можно найти из соотношения: [ R = h \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \, \text{см} ]
Образующая l конуса находится по теореме Пифагора из треугольника с гипотенузой l и катетами 6 см (высота) и (2\sqrt{3}) см (радиус): [ l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \, \text{см} ]
Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле: [ S_{\text{бок}} = \pi R l = \pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi \, \text{см}^2 ]
б) Площадь полной поверхности конуса
Площадь полной поверхности конуса складывается из площади боковой поверхности и площади основания: [ S{\text{полная}} = S{\text{бок}} + \pi R^2 = 24\pi + \pi (2\sqrt{3})^2 = 24\pi + 12\pi = 36\pi \, \text{см}^2 ]
в) Площадь сечения конуса плоскостью
Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие под углом 30 градусов, можно найти, зная, что это сечение представляет собой круговой сектор с радиусом, равным образующей конуса (4√3 см), и углом 30 градусов: [ S_{\text{сечения}} = \frac{30}{360} \cdot \pi l^2 = \frac{30}{360} \cdot \pi (4\sqrt{3})^2 = \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot 48 = 4\pi \, \text{см}^2 ]
Таким образом, мы нашли площадь боковой поверхности, полной поверхности и сечения конуса.
а) Для нахождения площади боковой поверхности конуса воспользуемся формулой: Sб = π R l, где R - радиус основания конуса, l - образующая конуса. Так как у нас угол при вершине осевого сечения равен 120 градусов, то у нас получается равнобедренный треугольник. Поэтому l = 2 R sin(60°) = 2 R √3 / 2 = R √3. Так как высота конуса равна 6 см, то R = 6 см. Итак, Sб = π 6 * 6√3 = 36π√3 см².
б) Для нахождения площади полной поверхности конуса нужно добавить к площади боковой поверхности площадь основания. Площадь основания конуса можно найти по формуле Sосн = π R². Sосн = π 6² = 36π см². Итак, полная площадь поверхности конуса Sп = Sб + Sосн = 36π√3 + 36π = 36π(√3 + 1) см².
в) Для нахождения площади сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30 градусов, нужно найти высоту сечения. Высота сечения h = R sin(30°) = 6 1/2 = 3 см. Теперь можем найти площадь сечения по формуле Sсеч = π R h = π 6 3 = 18π см².
