Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120 градусам. Найдите: а) площадь сечения...

а) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30 градусов, равна 18 кв. см. б) Площадь боковой поверхности конуса равна 84 кв. см.

Для решения задачи давайте рассмотрим каждую часть по отдельности.

а) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30 градусов.

1. Понимание задачи: Плоскость проходит через две образующие конуса, образуя угол в 30 градусов. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, так как образующие равны по длине.

2. Нахождение радиуса основания конуса:

   • Угол при вершине осевого сечения конуса равен 120 градусам.
   • В осевом сечении мы имеем равнобедренный треугольник, в котором угол между двумя сторонами (образующими) равен 120 градусам.
   • Высота, проведенная из вершины конуса к основанию, разбивает этот угол пополам, то есть по 60 градусов.
   • Поскольку высота конуса опущена перпендикулярно основанию, можно использовать тригонометрию: [ \tan(60^\circ) = \frac{r}{6} ] где ( r ) — радиус основания конуса.
   • (\tan(60^\circ) = \sqrt{3}), следовательно, ( r = 6\sqrt{3} \, \text{см} ).

3. Нахождение образующей конуса:

   • В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, по теореме Пифагора: [ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{108 + 36} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см} ]

4. Вычисление площади треугольника-сечения:

   • Плоскость, проходящая через две образующие под углом 30 градусов, образует равнобедренный треугольник с вершиной в центре основания.
   • Длина каждой стороны треугольника равна длине образующей, то есть 12 см.
   • Площадь равнобедренного треугольника с углом 30 градусов между сторонами: [ S = \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \cdot \frac{1}{2} = 36 \, \text{см}^2 ]

б) Площадь боковой поверхности конуса.

1. Используем формулу площади боковой поверхности конуса: [ S_{\text{боковая}} = \pi \cdot r \cdot l ] где ( r = 6\sqrt{3} ) см — радиус основания, ( l = 12 ) см — образующая.

2. Подставляем значения: [ S_{\text{боковая}} = \pi \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 72\pi\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь сечения равна 36 см², а площадь боковой поверхности конуса составляет ( 72\pi\sqrt{3} \, \text{см}^2 ).

а) Для нахождения площади сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30 градусов, нужно использовать формулу площади сечения конуса: S = π r l, где r - радиус основания конуса, l - длина дуги сечения.

Для начала найдем радиус основания конуса. Радиус основания конуса образует прямой угол с образующей конуса, а значит, противоположная ему сторона образует равносторонний треугольник с высотой конуса. Таким образом, радиус основания равен высоте конуса, то есть r = 6 см.

Далее найдем длину дуги сечения. Образующая конуса и дуга сечения образуют равнобедренный треугольник с углом при вершине в 120 градусов. Таким образом, у нас имеется равносторонний треугольник с основанием 6 см и углом при вершине в 60 градусов. Длина дуги сечения равна длине стороны равностороннего треугольника, то есть l = 6 см.

Подставим найденные значения в формулу: S = π 6 6 = 36π см².

б) Для нахождения площади боковой поверхности конуса воспользуемся формулой: Sбок = π r l, где r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

Мы уже нашли радиус основания ранее (r = 6 см). Теперь найдем образующую конуса. Образующая конуса равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами радиусом основания и высотой конуса. Используя тригонометрические соотношения, найдем длину образующей: l = √(r² + h²) = √(6² + 6²) = √(72) см ≈ 8,49 см.

Подставим найденные значения в формулу: Sбок = π 6 8,49 ≈ 50,72 см².

Итак, площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие при угле 30 градусов, равна 36π см², а площадь боковой поверхности конуса равна примерно 50,72 см².