Высота цилиндра 4 см,радиус его основания 10 см. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной...

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, сначала нужно определить параметры этой призмы.

1. Определение параметров призмы:
   • Высота цилиндра ( h = 4 ) см.
   • Радиус основания цилиндра ( r = 10 ) см.

Так как призма вписана в цилиндр, ее основание будет равнобедренным треугольником, который уложен в круг радиусом 10 см. Для правильной треугольной призмы все стороны основания будут равны, и мы можем находить стороны треугольника, вписанного в окружность.

1. Радиус описанной окружности: Радиус ( R ) описанной окружности правильного треугольника с длиной стороны ( a ) связан с радиусом окружности, в которую он вписан: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}}. ] В нашем случае ( R = 10 ) см. Поэтому: [ a = R \cdot \sqrt{3} = 10 \sqrt{3} \text{ см}. ]

2. Площадь боковой поверхности призмы: Боковая поверхность призмы состоит из трех прямоугольников, каждый из которых имеет одну сторону равную высоте призмы, а другую сторону равную стороне основания треугольника.

   Высота призмы ( h = 4 ) см, а длина стороны основания ( a = 10\sqrt{3} ) см. Площадь одного прямоугольника будет равна: [ S_{rect} = a \cdot h = (10\sqrt{3}) \cdot 4 = 40\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

   Так как боковая поверхность состоит из трех таких прямоугольников, общая площадь боковой поверхности ( S{total} ) будет равна: [ S{total} = 3 \cdot S_{rect} = 3 \cdot 40\sqrt{3} = 120\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр с высотой 4 см и радиусом основания 10 см, равна ( 120\sqrt{3} ) см².

Давайте разберём задачу по шагам.

Дано:

1. Высота цилиндра ( h = 4 ) см.
2. Радиус основания цилиндра ( R = 10 ) см.
3. В цилиндр вписана правильная треугольная призма.

Нужно найти площадь боковой поверхности этой призмы.

Шаг 1. Что значит "правильная треугольная призма вписана в цилиндр"?

• Основание призмы — правильный треугольник, который вписан в круг, являющийся основанием цилиндра.
• Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен радиусу основания цилиндра (( R = 10 ) см).
• Высота призмы равна высоте цилиндра (( h = 4 ) см).

Шаг 2. Найдём сторону правильного треугольника, вписанного в окружность.

Формула связи радиуса описанной окружности ( R ) и стороны правильного треугольника ( a ): [ a = \sqrt{3} \cdot R ] Подставляем ( R = 10 ): [ a = \sqrt{3} \cdot 10 = 10\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Шаг 3. Площадь боковой поверхности призмы.

Боковая поверхность правильной треугольной призмы состоит из трёх прямоугольников. У каждого из них:

• Одна сторона равна высоте призмы (( h = 4 ) см),
• Другая сторона равна длине стороны основания призмы (( a = 10\sqrt{3} )).

Площадь одного прямоугольника: [ S_{\text{одного}} = a \cdot h = 10\sqrt{3} \cdot 4 = 40\sqrt{3} \, \text{см}^2. ]

Так как боковая поверхность состоит из трёх таких прямоугольников, общая площадь боковой поверхности: [ S{\text{бок}} = 3 \cdot S{\text{одного}} = 3 \cdot 40\sqrt{3} = 120\sqrt{3} \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, равна: [ \boxed{120\sqrt{3} \, \text{см}^2}. ]