Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см. Определите полную поверхность...

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулу для нахождения полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды.

Общая формула для вычисления полной поверхности пирамиды выглядит следующим образом:

S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5,

где S1, S2, S3, S4 - площади боковых граней, S5 - площадь основания пирамиды.

Поскольку у нас правильная четырехугольная пирамида, то все боковые грани равны друг другу. Таким образом, площадь одной боковой грани равна S1 = S2 = S3 = S4.

Для нахождения площади боковой грани воспользуемся формулой:

Sбок = 0.5 периметр основания высота боковой грани.

Периметр основания правильной четырехугольной пирамиды равен 4 * сторона основания.

Для нахождения стороны основания найдем высоту треугольника, образованного половиной стороны основания, высотой боковой грани и стороной пирамиды.

Высота треугольника h = 10 / cos 60 = 10 / 0.5 = 20 см.

Теперь можем найти сторону основания:

a = 2 h = 2 20 = 40 см.

Периметр основания:

P = 4 a = 4 40 = 160 см.

Теперь можем найти площадь боковой грани:

Sбок = 0.5 160 10 = 800 см^2.

Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то общая площадь всех боковых граней равна:

S1 + S2 + S3 + S4 = 4 Sбок = 4 800 = 3200 см^2.

Площадь основания пирамиды равна:

S5 = a^2 = 40^2 = 1600 см^2.

Таким образом, полная поверхность пирамиды равна:

S = 3200 + 1600 = 4800 см^2.

Для того чтобы найти полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно сначала определить площадь основания и площади боковых граней.

Шаг 1: Расчет площади основания Основание правильной четырехугольной пирамиды — это квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна (a). Тогда площадь основания (S_{\text{осн}}) равна (a^2).

Шаг 2: Нахождение стороны основания (a) Высота боковой грани наклонена под углом 60° к плоскости основания. Если обозначить высоту боковой грани как (h), которая равна 10 см, и высоту пирамиды как (H), то можно использовать тригонометрическую зависимость в прямоугольном треугольнике (где один из углов 60°, а противолежащий этому углу катет — это высота пирамиды (H), а гипотенуза — высота боковой грани (h)):

[ H = h \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \, \text{см} ]

Шаг 3: Нахождение апофемы (a_p) боковой грани Апофема боковой грани — это высота бокового треугольника, и в правильной пирамиде она также наклонена под углом 60° к основанию. Известно, что (a_p = \frac{h}{\sin(60^\circ)} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \approx 11,55 \, \text{см}).

Шаг 4: Расстояние от центра основания до его стороны (радиус вписанной окружности основания) [ r = \frac{a}{2} = \frac{H}{\tan(60^\circ)} = \frac{5}{\sqrt{3}} \approx 2,89 \, \text{см} ] Тогда ( a = 2r = 2 \cdot 2,89 \approx 5,77 \, \text{см} )

Шаг 5: Площадь основания [ S_{\text{осн}} = a^2 \approx 5,77^2 \approx 33,29 \, \text{см}^2 ]

Шаг 6: Площадь одной боковой грани Площадь одной боковой грани (треугольника) равна (\frac{1}{2} \cdot a \cdot a_p). Так как (a \approx 5,77 \, \text{см}) и (ap \approx 11,55 \, \text{см}), [ S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 5,77 \cdot 11,55 \approx 33,33 \, \text{см}^2 ]

Шаг 7: Полная площадь поверхности пирамиды Пирамида имеет 4 боковые грани, поэтому [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + 4 \cdot S_{\text{бок}} \approx 33,29 + 4 \cdot 33,33 \approx 166,61 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды примерно равна 166,61 см².