Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки, равные 7 см и 4 см. Площадь треугольника 55...

Длина BD равна 6 см.

(Чертеж)

   A
 /   \
B  -  D
 \   /
  \ /
   C

Обозначим точку, в которой высота BD пересекает сторону AC, как E. Таким образом, AE = 7 см и EC = 4 см. Так как треугольник ABC разделен на два подобных треугольника ABE и CDE, то отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения их высот, то есть:

S(ABE) / S(CDE) = AE^2 / EC^2 S(ABE) / S(CDE) = 49 / 16

Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABE и CDE, то:

S(ABE) + S(CDE) = 55 49x + 16x = 55 65x = 55 x = 55 / 65 x = 0.85

Теперь найдем длину BD, используя подобие треугольников:

BD / DC = AE / EC BD / 4 = 7 / 4 BD = 7

Ответ: Длина BD равна 6 см.

Для решения задачи воспользуемся следующими шагами:

1. Обозначения и известные данные:

   • Треугольник ( ABC )
   • Высота ( BD ) делит сторону ( AC ) на отрезки ( AD = 7 ) см и ( DC = 4 ) см
   • Площадь треугольника ( ABC ) равна ( 55 ) см²

2. Найдем длину ( AC ): [ AC = AD + DC = 7 \text{ см} + 4 \text{ см} = 11 \text{ см} ]

3. Формула площади треугольника: Площадь треугольника ( ABC ) можно выразить через основание ( AC ) и высоту ( BD ): [ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD ] Подставим известные значения: [ 55 = \frac{1}{2} \times 11 \times BD ]

4. Решаем уравнение относительно ( BD ): [ 55 = \frac{11 \times BD}{2} ] Умножим обе части уравнения на 2: [ 110 = 11 \times BD ] Разделим обе части уравнения на 11: [ BD = \frac{110}{11} = 10 \text{ см} ]

Таким образом, длина высоты ( BD ) равна ( 10 ) см.

Для наглядности, приведем схематичный чертеж треугольника ( ABC ):

A
|\
| \
|  \
|   \
|    \
|     \
|      \
|       \
|        \
|         \
|          \
|           \
|            \
|             \
|              \
|               \
D----------------C
       B

На чертеже:

• ( A ) и ( C ) — концы стороны ( AC ), длина которой равна 11 см.
• Точка ( D ) — точка на стороне ( AC ), делящая её на отрезки ( AD = 7 ) см и ( DC = 4 ) см.
• ( B ) — вершина треугольника, из которой опущена высота ( BD ), равная 10 см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для площади треугольника через высоту:

S = 0.5 h AC

где S - площадь треугольника, h - высота треугольника, AC - основание треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 55 см², а отрезки, на которые высота BD делит сторону AC, равны 7 см и 4 см. Таким образом, основание треугольника AC равно сумме этих отрезков, то есть 7 см + 4 см = 11 см.

Подставим известные значения в формулу для площади треугольника:

55 = 0.5 h 11 h = 10

Теперь нам нужно найти длину отрезка BD. Рассмотрим треугольник ABD. Он подобен треугольнику ABC, так как у них углы при вершине B равны (по признаку угловой сходимости). Таким образом, отношение стороны треугольника ABD к стороне треугольника ABC равно отношению высоты BD к высоте AC:

AB / AC = BD / 10

Подставим известные значения:

AB / 11 = BD / 10

AB = 7, BD = x

7 / 11 = x / 10 x = 7 * 10 / 11 x ≈ 6.36

Таким образом, длина отрезка BD составляет примерно 6.36 см.

Чтобы лучше понять решение задачи, приведу ниже чертеж:

A-----------------C
|                /
|               /
|              /
|             /
|            /
|           /
|          /
|         /
|        /
|       /
|      /
|     /
|    /
|   /
|  /
| /
|/
B