Вычислите угол между прямыми AB и CD, если A (√3;1;0), B(0;0;2√2), С(0;2;0), D(√3,1;2√2).

Для нахождения угла между двумя прямыми AB и CD сначала найдем направляющие векторы этих прямых. Направляющий вектор прямой можно найти, вычтя координаты одной точки из другой.

Для прямой AB: Пусть ( A(\sqrt{3}, 1, 0) ) и ( B(0, 0, 2\sqrt{2}) ). Тогда направляющий вектор ( \vec{AB} = B - A = (0 - \sqrt{3}, 0 - 1, 2\sqrt{2} - 0) = (-\sqrt{3}, -1, 2\sqrt{2}) ).

Для прямой CD: Пусть ( C(0, 2, 0) ) и ( D(\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{2}) ). Тогда направляющий вектор ( \vec{CD} = D - C = (\sqrt{3} - 0, 1 - 2, 2\sqrt{2} - 0) = (\sqrt{3}, -1, 2\sqrt{2}) ).

Теперь, когда у нас есть направляющие векторы ( \vec{AB} ) и ( \vec{CD} ), используем формулу для нахождения угла ( \theta ) между двумя векторами: [ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} ]

1. Скалярное произведение ( \vec{AB} \cdot \vec{CD} ): [ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (-1)(-1) + (2\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 3 + 1 + 8 = 12 ]

2. Модули векторов: [ |\vec{AB}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 + 1 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ] [ |\vec{CD}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 + 1 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]

3. Подставляем в формулу: [ \cos \theta = \frac{12}{(2\sqrt{3})(2\sqrt{3})} = \frac{12}{12} = 1 ]

Так как ( \cos \theta = 1 ), это означает, что ( \theta = 0^\circ ), и прямые AB и CD параллельны.

Для вычисления угла между прямыми AB и CD необходимо найти направляющие векторы этих прямых и затем использовать формулу для вычисления угла между векторами.

Направляющие векторы прямых AB и CD можно найти как разность координат их концов: для прямой AB: AB = B - A = (0 - √3; 0 - 1; 2√2 - 0) = (-√3; -1; 2√2) для прямой CD: CD = D - C = (√3 - 0; 1 - 2; 2√2 - 0) = (√3; -1; 2√2)

Затем найдем скалярное произведение этих векторов: AB CD = (-√3 √3) + (-1 -1) + (2√2 2√2) = -3 + 1 + 8 = 6

Длины векторов AB и CD можно найти по формуле: |AB| = √((-√3)^2 + (-1)^2 + (2√2)^2) = √(3 + 1 + 8) = √12 = 2√3 |CD| = √(√3^2 + (-1)^2 + (2√2)^2) = √(3 + 1 + 8) = √12 = 2√3

Теперь можем найти угол между прямыми AB и CD по формуле: cos(θ) = (AB CD) / (|AB| |CD|) = 6 / (2√3 * 2√3) = 6 / 12 = 0.5 θ = arccos(0.5) ≈ 60 градусов

Итак, угол между прямыми AB и CD составляет приблизительно 60 градусов.