Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см,если ее градусная мера равна 120 градусам.Чему равна...

Конечно, давайте решим эту задачу поэтапно.

1. Длина дуги окружности

Для начала, нужно вспомнить формулу для вычисления длины дуги окружности. Длина дуги ( L ) определяется как часть длины окружности, пропорциональная углу этой дуги. Формула длины дуги ( L ) при градусной мере угла ( \theta ) выглядит так:

[ L = 2 \pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} ]

где:

• ( r ) — радиус окружности,
• ( \theta ) — градусная мера угла.

Подставим значения из условия задачи:

• Радиус ( r = 4 ) см,
• Угол ( \theta = 120^\circ ).

Теперь подставим эти значения в формулу:

[ L = 2 \pi \cdot 4 \cdot \frac{120}{360} ]

Упростим выражение:

[ L = 8 \pi \cdot \frac{1}{3} ] [ L = \frac{8 \pi}{3} ]

Таким образом, длина дуги окружности составляет ( \frac{8 \pi}{3} ) см.

2. Площадь сектора

Площадь сектора ( S ) окружности также может быть найдена через градусную меру угла. Формула площади сектора при радиусе ( r ) и угле ( \theta ) следующая:

[ S = \pi r^2 \cdot \frac{\theta}{360^\circ} ]

Подставим наши данные в формулу:

• Радиус ( r = 4 ) см,
• Угол ( \theta = 120^\circ ).

[ S = \pi \cdot (4)^2 \cdot \frac{120}{360} ]

Упростим выражение:

[ S = \pi \cdot 16 \cdot \frac{1}{3} ] [ S = \frac{16 \pi}{3} ]

Таким образом, площадь сектора, соответствующего данной дуге, составляет ( \frac{16 \pi}{3} ) квадратных сантиметров.

Итак, ответы на задачу:

• Длина дуги окружности равна ( \frac{8 \pi}{3} ) см.
• Площадь соответствующего данной дуге сектора равна ( \frac{16 \pi}{3} ) квадратных сантиметров.

Длина дуги окружности: (2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{360}), где (r = 4) см, (\alpha = 120) градусов. Длина дуги: (2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot \frac{120}{360} = 8\pi) см.

Площадь сектора: (\frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot r^2), где (r = 4) см, (\alpha = 120) градусов. Площадь сектора: (\frac{120}{360} \cdot \pi \cdot 4^2 = 4\pi) см².

Для вычисления длины дуги окружности с радиусом 4 см и градусной мерой 120 градусов, нужно использовать формулу длины дуги:

L = (r α π) / 180,

где L - длина дуги, r - радиус окружности, α - градусная мера дуги, π - число пи.

Подставляя данные из условия, получаем:

L = (4 120 π) / 180 = (480 * π) / 180 ≈ 8,38 см.

Теперь рассчитаем площадь сектора, соответствующего данной дуге. Площадь сектора можно найти с помощью формулы:

S = (r^2 * α) / 2,

где S - площадь сектора, r - радиус окружности, α - градусная мера сектора.

Подставляя данные из условия, получаем:

S = (4^2 120) / 2 = (16 120) / 2 = 960 / 2 = 480 см^2.

Таким образом, длина дуги окружности с радиусом 4 см и градусной мерой 120 градусов составляет приблизительно 8,38 см, а площадь соответствующего данной дуге сектора равна 480 см^2.