Вычислить предварительно сделав рисунок площадь фигуры ограниченной линиями у=х^3,у=0,х=0,х=2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями у=х^3, у=0, х=0 и х=2, необходимо построить график данной функции y=x^3 и определить область, ограниченную этим графиком и осями координат.

Построив график функции y=x^3, мы видим, что область ограничена следующими точками: (0,0), (0,2), (2,8) и (2,0). Таким образом, фигура представляет собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,2) и (2,8).

Для вычисления площади такого треугольника можно воспользоваться формулой для площади треугольника по координатам вершин: S = 0.5 |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|, где (x1,y1), (x2,y2) и (x3,y3) - координаты вершин треугольника.

Подставив координаты вершин треугольника в формулу, получим: S = 0.5 |0(2-8) + 0(8-0) + 2(0-2)| = 0.5 |0 + 0 - 4| = 0.5 4 = 2.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^3, у=0, х=0 и х=2, равна 2.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^3 ), ( y = 0 ), ( x = 0 ) и ( x = 2 ), мы можем использовать интегральное исчисление. Давайте разберем шаг за шагом, как это сделать.

Шаг 1: Построение рисунка

1. График функции ( y = x^3 ): Это кубическая парабола, проходящая через начало координат и направленная вверх. При ( x = 0 ), ( y = 0 ), и при ( x = 2 ), ( y = 8 ).

2. Линии ( y = 0 ) и ( x = 0 ): ( y = 0 ) — это ось абсцисс, а ( x = 0 ) — ось ординат.

3. Линия ( x = 2 ): Вертикальная линия, проходящая через ( x = 2 ).

С учётом этих линий, областью интегрирования будет часть плоскости, ограниченная сверху кривой ( y = x^3 ), снизу линией ( y = 0 ), слева линией ( x = 0 ) и справа линией ( x = 2 ).

Шаг 2: Вычисление площади

Площадь можно найти, интегрируя функцию ( y = x^3 ) по ( x ) от 0 до 2:

[ A = \int_{0}^{2} x^3 \, dx ]

Шаг 3: Вычисление интеграла

1. Найдите первообразную функции ( x^3 ): [ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C ]

2. Подставьте пределы интегрирования: [ A = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} ]

3. Вычислите значения: [ A = \frac{16}{4} - 0 = 4 ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна 4 квадратным единицам.

Заключение

Используя метод интегрирования, мы определили, что площадь заданной области равна 4. Этот метод позволяет находить площадь под кривой в пределах заданных границ, что является стандартной задачей в математическом анализе.