Вычисли меньшую сторону и площадь прямоугольника, если его большая сторона равна 15 см, диагональ равна...

Меньшая сторона прямоугольника равна 7.5 см, площадь равна 56.25 кв. см.

Для решения задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть:

1. Большая сторона прямоугольника равна ( a = 15 ) см.
2. Диагональ равна ( d = 10\sqrt{3} ) см.
3. Диагональ образует с меньшей стороной угол ( 60^\circ ).

Обозначим меньшую сторону прямоугольника как ( b ).

Первым шагом найдем выражение для диагонали прямоугольника. Диагональ ( d ) может быть выражена через стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора: [ d = \sqrt{a^2 + b^2} ] Подставим известные значения: [ 10\sqrt{3} = \sqrt{15^2 + b^2} ] Возведём обе стороны уравнения в квадрат: [ 300 = 225 + b^2 ] [ b^2 = 300 - 225 = 75 ] [ b = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} ]

Теперь найдем площадь прямоугольника. Площадь ( S ) прямоугольника равна произведению его сторон: [ S = a \times b = 15 \times 5\sqrt{3} ] [ S = 75\sqrt{3} ]

Теперь округлим полученные значения. Для этого вычислим численные значения:

• Меньшая сторона ( b = 5\sqrt{3} \approx 5 \times 1.73 = 8.65 ) см.
• Площадь ( S = 75\sqrt{3} \approx 75 \times 1.73 = 129.75 ) см².

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна ( 8.65 ) см, а его площадь составляет ( 129.75 ) см².

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного диагональю прямоугольника, его большой и меньшей сторонами: (c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)), где (a) и (b) - меньшая и большая стороны прямоугольника, (c) - диагональ, (\theta) - угол между диагональю и меньшей стороной.

Подставим известные значения: ( (10\sqrt{3})^2 = a^2 + 15^2 - 2 \cdot a \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ) ), ( 300 = a^2 + 225 - 30a \cdot \frac{1}{2} ), ( a^2 - 15a + 175 = 0 ).

Решив квадратное уравнение, получаем два решения: ( a_1 \approx 5.69 ) и ( a_2 \approx 9.31 ). Так как меньшая сторона прямоугольника не может быть больше большей, то выбираем ( a \approx 5.69 ).

Для вычисления площади прямоугольника используем формулу ( S = a \cdot b ). Таким образом, площадь прямоугольника будет равна ( S \approx 5.69 \cdot 15 \approx 85.35 \, см^2 ).