Все стороны правильного треугольника ABC с площадью 9 корней из 3 квадратных см касаются сферы. Найдите...

Площадь сферы равна 36 квадратным см.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства правильного треугольника и связанные с ними геометрические законы. Поскольку все стороны треугольника касаются сферы, то они являются радиусами сферы, проведенными к точкам касания. Так как площадь треугольника равна 9√3 см², то его высота составляет 3√3 см (площадь треугольника равна полупроизведению его высоты на основание).

Теперь рассмотрим треугольник, образованный радиусом сферы, проведенным к точкам касания сторон треугольника. Этот треугольник является прямоугольным с гипотенузой, равной радиусу сферы, и катетами, равными радиусам треугольника. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что его гипотенуза равна сумме квадратов катетов, то есть R² = r² + r² = 2r², где R - радиус сферы, r - радиус треугольника.

Таким образом, мы получаем уравнение R² = 2r². Подставив значение высоты треугольника (3√3 см), найдем радиус треугольника (r = 3√3/√3 = 3 см). Теперь мы можем найти радиус сферы (R = √2 * r = 3√2 см).

Итак, площадь сферы вычисляется по формуле S = 4πR² = 4π(3√2)² = 36π см². Полученный ответ - 36π квадратных сантиметров.

Для решения этой задачи нам необходимо найти радиус сферы, а затем использовать его для вычисления площади поверхности сферы.

1. Найдем сторону треугольника ABC: Поскольку треугольник ABC правильный (равносторонний), площадь ( S ) такого треугольника может быть найдена по формуле: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ] где ( a ) – сторона треугольника. Зная, что площадь треугольника составляет ( 9 \sqrt{3} ) квадратных сантиметров, мы можем выразить ( a ) следующим образом: [ 9 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ] [ a^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad a = 6 \text{ см} ]

2. Найдем радиус описанной окружности треугольника ABC: Радиус ( R ) описанной окружности для правильного треугольника находится по формуле: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см} ]

3. Найдем радиус сферы: Поскольку все стороны треугольника касаются сферы, это означает, что сфера касается каждой стороны, а её центр находится на расстоянии ( R + d ) от центра описанной окружности треугольника, где ( d ) – расстояние от центра сферы до плоскости треугольника (1 см). Таким образом, радиус сферы ( r ) равен: [ r = R + d = 2\sqrt{3} + 1 \text{ см} ]

4. Посчитаем площадь поверхности сферы: Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: [ S = 4\pi r^2 ] Подставляя значение радиуса: [ S = 4\pi (2\sqrt{3} + 1)^2 = 4\pi (12 + 4\sqrt{3} + 1) = 4\pi (13 + 4\sqrt{3}) ]

Таким образом, площадь поверхности сферы составляет ( 4\pi (13 + 4\sqrt{3}) ) квадратных сантиметров.