Внешний угол при вершине М треугольника МКР равен 120°, МК=3 см, МР=8 см. Вычислите периметр данного...

Давайте подробно разберем задачу.

Нам дан треугольник $\mathrm{△}MKR$, в котором внешний угол при вершине $M$ равен ${120}^{\circ }$, а стороны $MK=3\text{см}$ и $MR=8\text{см}$. Требуется найти периметр треугольника.

Шаг 1. Вспомним свойства внешнего угла

Внешний угол при вершине $M$ равен ${120}^{\circ }$. Заметим, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, внутренний угол при вершине $M$, который смежен с внешним, равен: $\mathrm{\angle }M={180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }.$

Теперь мы знаем, что угол при вершине $M$ равен ${60}^{\circ }$.

Шаг 2. Применим теорему косинусов для нахождения стороны $KR$

В треугольнике $\mathrm{△}MKR$ известны две стороны $(MK=3\text{см}$, $MR=8\text{см}$) и угол между ними $(\mathrm{\angle }M={60}^{\circ }$). Это позволяет нам воспользоваться теоремой косинусов, которая гласит: $K{R}^2=M{K}^2+M{R}^2-2\cdot MK\cdot MR\cdot \cos (\mathrm{\angle }M).$ Подставляем данные: $K{R}^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos ({60}^{\circ }).$ Значение $\cos ({60}^{\circ }$ = 0.5 ). Подставляем: $K{R}^2=9+64-2\cdot 3\cdot 8\cdot 0.5.$ Считаем: $K{R}^2=9+64-24=49.$ Следовательно: $KR=\sqrt{49}=7\text{см}.$

Шаг 3. Найдем периметр треугольника

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: $P=MK+MR+KR.$ Подставляем известные значения: $P=3+8+7=18\text{см}.$

Ответ:

Периметр треугольника $\mathrm{△}MKR$ равен $18\text{см}$.

Для решения задачи найдем длину стороны KR треугольника МКР, используя свойства внешних и внутренних углов треугольника.

1. Внешний угол при вершине М равен 120°. Внутренний угол при вершине М, соответственно, равен: $\alpha =180°-120°=60°.$

2. Обозначим стороны треугольника:

   • МК = a = 3 см,
   • МР = b = 8 см,
   • KR = c $этото,чтомыхотимнайти$.

3. В треугольнике МКР, согласно теореме синусов, справедливо следующее соотношение: $\frac{a}{\sin (\mathrm{\angle }MRP)}=\frac{b}{\sin (\mathrm{\angle }KMR)}=\frac{c}{\sin (\mathrm{\angle }M)}.$

   Здесь:

   • $\mathrm{\angle }MRP$ – угол, противолежащий стороне KR,
   • $\mathrm{\angle }KMR$ – угол, противолежащий стороне МР,
   • $\mathrm{\angle }M$ – угол, противолежащий стороне МК.

4. Мы знаем, что: $\mathrm{\angle }MRP+\mathrm{\angle }KMR+\mathrm{\angle }M=180°.$ Подставим известные значения: $\mathrm{\angle }MRP+\mathrm{\angle }KMR+60°=180°,$ откуда: $\mathrm{\angle }MRP+\mathrm{\angle }KMR=120°.$

5. Также мы знаем, что: $\mathrm{\angle }KMR=120°-\mathrm{\angle }MRP.$

6. Теперь, применяя закон синусов, мы можем выразить стороны через углы. Из уравнения: $\frac{MK}{\sin (\mathrm{\angle }MRP)}=\frac{MR}{\sin (\mathrm{\angle }KMR)},$ подставим значения: $\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }MRP)}=\frac{8}{\sin (120°-\mathrm{\angle }MRP)}.$

7. Теперь воспользуемся формулой синуса разности: $\sin (120°-\mathrm{\angle }MRP)=\sin (120°)\cos (\mathrm{\angle }MRP)-\cos (120°)\sin (\mathrm{\angle }MRP).$ Зная, что $\sin (120°$ = \frac{\sqrt{3}}{2}) и $\cos (120°$ = -\frac{1}{2}), мы можем подставить это в уравнение.

8. Далее, подставим значения и упростим уравнение: $\frac{3}{\sin (\mathrm{\angle }MRP)}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos (\mathrm{\angle }MRP)+\frac{1}{2}\sin (\mathrm{\angle }MRP)}.$

9. Упростим уравнение и найдем $\mathrm{\angle }MRP$ $этоможетбытьсложно,ноегоможнорешитьчисленноилиприближенно$.

10. После нахождения угла $\mathrm{\angle }MRP$ можно будет найти длину стороны KR $c$ с помощью закона синусов.

11. После нахождения всех сторон, периметр P треугольника можно вычислить, суммируя длины всех сторон: $P=MK+MR+KR=a+b+c.$

12. Проводя все вычисления с учетом найденных значений, мы получим окончательный ответ на задачу.

Таким образом, для окончательного решения необходимо провести точные вычисления с использованием тригонометрии.