Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как...

Радиус окружности равен 10.

Для решения задачи сначала обозначим вершины треугольника как ( A, B ) и ( C ). Пусть дуги, на которые эти вершины делят окружность, имеют длины, пропорциональные 3, 4 и 11. Обозначим длины этих дуг через ( 3x ), ( 4x ) и ( 11x ) соответственно.

Сумма этих дуг составляет полный круг, то есть ( 3x + 4x + 11x = 18x ). Поскольку полный круг равен ( 2\pi R ), где ( R ) — радиус окружности, получаем:

[ 18x = 2\pi R ]

Отсюда выражаем ( x ):

[ x = \frac{2\pi R}{18} = \frac{\pi R}{9} ]

Теперь рассмотрим углы треугольника. Центральные углы, соответствующие этим дугам, будут, соответственно, ( 3x ), ( 4x ) и ( 11x ) радиан. Поскольку полный угол круга равен ( 2\pi ) радиан, сумма углов треугольника также будет ( 2\pi ).

Таким образом, центральные углы равны ( \frac{3x}{R} ), ( \frac{4x}{R} ) и ( \frac{11x}{R} ), где ( x ) выражается через радиус ( R ). Поскольку углы в радианах для дуг длиной ( 3x ), ( 4x ) и ( 11x ) равны:

[ 3x / R = \frac{3(\pi R / 9)}{R} = \frac{\pi}{3} ] [ 4x / R = \frac{4(\pi R / 9)}{R} = \frac{4\pi}{9} ] [ 11x / R = \frac{11(\pi R / 9)}{R} = \frac{11\pi}{9} ]

Эти углы в сумме дают:

[ \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} = \pi ]

Теперь рассмотрим меньшую сторону треугольника, которая равна 14. Эта сторона будет напротив меньшего угла, который равен ( \frac{\pi}{3} ).

Используем теорему синусов для треугольника:

[ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R ]

Где ( a ) — это сторона треугольника, ( \alpha ) — угол напротив этой стороны, и ( R ) — радиус описанной окружности. Подставляем наши значения:

[ \frac{14}{\sin(\pi/3)} = 2R ]

Зная, что ( \sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), получаем:

[ \frac{14}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R ] [ \frac{14 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2R ] [ \frac{28}{\sqrt{3}} = 2R ] [ R = \frac{28}{2\sqrt{3}} ] [ R = \frac{14}{\sqrt{3}} ] [ R = \frac{14\sqrt{3}}{3} ]

Таким образом, радиус описанной окружности равен:

[ R = \frac{14\sqrt{3}}{3} ]

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством, что дуги, образуемые на окружности вершинами треугольника, пропорциональны соответствующим сторонам треугольника.

Пусть радиус окружности равен R, а стороны треугольника равны a = 14, b и c (где a - меньшая сторона).

Таким образом, мы имеем следующие соотношения: a:b:c = 3:4:11 a + b + c = 2R (сумма всех дуг окружности равна длине окружности, умноженной на 2)

Из условия задачи мы знаем, что a = 14. Подставляем это значение в пропорцию и находим соответствующие значения b и c: 14:b:c = 3:4:11 b = 4/3 14 = 56/3 c = 11/3 14 = 154/3

Теперь можем найти сумму всех дуг окружности: 14 + 56/3 + 154/3 = 2R 14 + 210/3 = 2R 56/3 + 70 = 2R (56 + 210)/3 = 2R 266/3 = 2R 2R = 266/3 R = 133/3

Итак, радиус окружности, описанной вокруг треугольника с данными условиями, равен 133/3 или примерно 44.33.