Вершины куба abcda1b1c1d1 имеют координаты: А (3;-1;1) В (-1;-1;1) С (-1;3;1) С1 (-1;3;5) а) Найдите...

Конечно, давайте разберем задачу по геометрии, связанную с кубом.

Итак, у нас есть куб ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) с заданными координатами некоторых его вершин. Вершины куба задаются следующим образом:

• ( A (3; -1; 1) )
• ( B (-1; -1; 1) )
• ( C (-1; 3; 1) )
• ( C_1 (-1; 3; 5) )

а) Найдите координаты вершин ( B_1 ) и ( D_1 ).

Для начала напомним, что куб — это правильный многогранник, все ребра которого равны, и все его грани — квадраты. Каждая вершина куба соединена с тремя другими вершинами, образуя прямоугольный треугольник.

1. Найдем ребро куба. Чтобы это сделать, вычислим расстояние между двумя известными вершинами, например, между ( A ) и ( B ):

[ AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(3 + 1)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4^2} = 4 ]

Таким образом, длина ребра куба равна 4.

1. Теперь определим координаты вершины ( B_1 ), которая является вершиной, смещенной на одно ребро вверх от ( B ).

Поскольку вершина ( B_1 ) отличается от ( B ) только по оси ( z ) на величину ребра куба (4 единицы), её координаты будут:

[ B_1 = (-1, -1, 1 + 4) = (-1, -1, 5) ]

1. Теперь определим координаты вершины ( D_1 ). Вершина ( D_1 ) должна быть смещением вершины ( D ) на одно ребро вверх по оси ( z ). Для этого предварительно найдём координаты вершины ( D ).

Вершина ( D ) имеет координаты, которые отличаются от координат вершин ( A ) и ( B ) по ( x ) и ( y ), но совпадают по ( z ). Вершина ( D ) должна находиться на пересечении двух ребер, ведущих от ( A ) и ( B ), отстоящих на одно ребро:

[ D = (3, -1 + 4, 1) = (3, 3, 1) ]

Теперь смещаем ( D ) на одно ребро вверх по ( z ):

[ D_1 = (3, 3, 1 + 4) = (3, 3, 5) ]

Таким образом, координаты вершин ( B_1 ) и ( D_1 ) будут:

[ B_1 = (-1, -1, 5) ] [ D_1 = (3, 3, 5) ]

б) Разложите по координатным векторам вектор ( A_1C ).

Для этого сначала найдем координаты вершины ( A_1 ). Вершина ( A_1 ) будет смещением вершины ( A ) на одно ребро вверх по оси ( z ):

[ A_1 = (3, -1, 1 + 4) = (3, -1, 5) ]

Теперь найдем координаты вектора ( A_1C ):

[ A_1C = C - A_1 = (-1, 3, 1) - (3, -1, 5) ]

Вычисляем компоненты вектора:

[ A_1C_x = -1 - 3 = -4 ] [ A_1C_y = 3 - (-1) = 4 ] [ A_1C_z = 1 - 5 = -4 ]

Таким образом, вектор ( A_1C ) в координатном виде:

[ A_1C = (-4, 4, -4) ]

Итак, мы нашли координаты вершин ( B_1 ) и ( D_1 ), а также разложили вектор ( A_1C ) по координатным векторам.

а) Найдем координаты вершин В1 и D1:

Для вершины B1: B1 = B + (C - A) = (-1; -1; 1) + (-1; 3; 1) - (3; -1; 1) = (-1; -1; 1) + (-4; 4; 0) = (-5; 3; 1)

Для вершины D1: D1 = D + (C1 - A) = (3; -1; 1) + (-1; 3; 5) - (3; -1; 1) = (3; -1; 1) + (-4; 4; 4) = (-1; 3; 5)

Итак, координаты вершин B1 и D1: B1 (-5; 3; 1) D1 (-1; 3; 5)

б) Разложим вектор A1C по координатам:

Вектор A1C = C - A1 = (-1; 3; 5) - (3; -1; 1) = (-1 - 3; 3 - (-1); 5 - 1) = (-4; 4; 4)

Итак, вектор A1C имеет координаты (-4; 4; 4)