Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
а) Верно, любые три точки лежат в одной плоскости. б) Неверно, не все четыре точки лежат в одной плоскости. в) Неверно, есть случаи, когда четыре точки лежат в одной плоскости. г) Верно, через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.
Давайте разберем каждый из пунктов:
а) Любые три точки лежат в одной плоскости.
Это утверждение верно, если три точки не совпадают. Любые три точки в пространстве определяют плоскость. Если три точки не лежат на одной прямой, то они определяют единственную плоскость. Если они лежат на одной прямой, то они все равно могут быть частью бесконечного числа плоскостей, проходящих через эту прямую.
б) Любые четыре точки лежат в одной плоскости.
Это утверждение неверно. Четыре точки могут лежать в одной плоскости, но это не обязательно. Если три из этих точек определяют плоскость, а четвёртая точка не лежит в этой плоскости, то тогда все четыре точки не будут лежать в одной плоскости. То есть, четыре точки в общем случае могут и не быть компланарными (лежать в одной плоскости).
в) Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
Это утверждение тоже неверно. Хотя четыре точки могут не лежать в одной плоскости, нет запрета на то, чтобы они все-таки лежали в одной плоскости. Например, если три точки определяют плоскость, и четвёртая точка также лежит в этой плоскости, то все четыре точки будут компланарными.
г) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.
Это утверждение верно при условии, что три точки не лежат на одной прямой. Если три точки не коллинеарны, они определяют единственную плоскость. Если же три точки коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой), то через них проходит бесконечное множество плоскостей, так как через прямую можно провести множество плоскостей.
Таким образом, ключевым фактором является расположение точек относительно друг друга, особенно в случае с тремя точками, важно учитывать их коллинеарность, а для четырёх — компланарность.
а) Да, верно. Любые три точки в пространстве всегда лежат в одной плоскости. Это свойство плоскости называется аксиомой плоскости.
б) Нет, не всегда верно. Четыре точки могут лежать в одной плоскости, если они образуют плоскую фигуру, например, квадрат или ромб. Однако, четыре точки также могут не лежать в одной плоскости, если они образуют треугольник и одна точка находится вне этой плоскости.
в) Нет, не всегда верно. Существуют случаи, когда четыре точки лежат в одной плоскости, как уже было описано выше.
г) Да, верно. Через любые три точки всегда проходит одна и только одна плоскость. Это свойство также называется аксиомой плоскости.
