Вариант 2 1. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника KOM, если угол MNP...

1. Угол KOM = 40°, угол KMO = 70°.

2. а) Дано: AB = BM. Так как AB = BM, то угол ABM = угол BAM. Следовательно, AM является биссектрисой угла BAD. б) Периметр параллелограмма ABCD равен 2(AB + BC) = 2(8 + 4) = 24 см.

Дано:

1. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке О, угол MNP равен 80°.
2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. CD = 8 см, CM = 4 см.

Решение:

1. а) Поскольку диагонали ромба пересекаются в точке О, то треугольник KOM является равнобедренным, так как OK = OM (диагонали ромба равны между собой). Таким образом, углы треугольника KOM равны: ∠KOM = ∠KMO = (180° - ∠MNP) / 2 = (180° - 80°) / 2 = 50°.

б) Так как AB = BM, то треугольник ABM также является равнобедренным, следовательно, AM - биссектриса угла BAD. По теореме косинусов в треугольнике CDM: CM^2 = CD^2 + DM^2 - 2 CD DM cos ∠CMD, 4^2 = 8^2 + DM^2 - 2 8 DM cos ∠CMD, 16 = 64 + DM^2 - 16DM cos ∠CMD, DM^2 - 16DM cos ∠CMD + 48 = 0.

Так как AM - биссектриса угла BAD, то угол CMD = ∠CMA = ∠DAB. По косинусной теореме в треугольнике ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC BC cos BAD, BM^2 = CM^2 + BC^2 - 2 CM BC cos ∠CMA, CM^2 + BC^2 - 2 CM BC cos ∠CMA = CM^2 + BC^2 - 2 CM BC cos ∠CMD,

• 2 CM BC cos ∠CMA = - 2 CM BC cos ∠CMD, cos ∠CMA = cos ∠CMD, ∠CMA = ∠CMD.

Таким образом, угол CMD = ∠CMA = ∠DAB.

Периметр параллелограмма ABCD равен: 2 (AB + BC) = 2 (BM + CD) = 2 * (4 + 8) = 24 см.

Получаем, что углы треугольника KOM равны 50°, AM - биссектриса угла BAD, и периметр параллелограмма ABCD равен 24 см.

Конечно! Давайте разберем обе задачи по порядку.

Задача 1:

Дано:

• Ромб KMNP.
• Диагонали пересекаются в точке O.
• Угол MNP = 80°.

Найти:

• Углы треугольника KOM.

Решение:

1. Свойства диагоналей ромба:

   • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (90°).
   • Диагонали делят углы ромба пополам.

2. Угол при вершине ромба:

   • Угол MNP = 80°.
   • Так как диагонали делят углы пополам, угол ONP = 40°.

3. Углы треугольника KOM:

   • Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом, угол KMO = 90°.
   • Треугольник KOM прямоугольный.
   • Угол KOM = угол ONP = 40° (так как диагонали делят углы пополам).
   • Найдем угол KMO: 180° - 90° - 40° = 50°.

Ответ: Углы треугольника KOM равны 40°, 50°, и 90°.

Задача 2:

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• Точка M на стороне BC, такая что AB = BM.
• CD = 8 см, CM = 4 см.

Найти:
a) Доказать, что AM – биссектриса угла BAD.
b) Периметр параллелограмма.

Решение:

a) Доказательство, что AM – биссектриса угла BAD:

1. Свойства параллелограмма:

   • Противоположные стороны параллелограмма равны: AB = CD и AD = BC.
   • Углы при параллельных сторонах равны.

2. Поскольку AB = BM:

   • AM делит угол BAD на два равных угла, так как AB = BM, следовательно, треугольники ABM и ADM равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников SAS).
   • Следовательно, AM является биссектрисой угла BAD.

b) Найдем периметр параллелограмма:

1. Известные стороны:

   • CD = 8 см, следовательно, AB = 8 см (так как противоположные стороны параллелограмма равны).
   • CM = 4 см, следовательно, MB = BC - CM = 8 см - 4 см = 4 см (так как AB = BM = 4 см).

2. Периметр параллелограмма:

   • Периметр = 2(AB + AD) = 2(8 см + 8 см) = 32 см.

Ответ:
a) AM является биссектрисой угла BAD.
b) Периметр параллелограмма равен 32 см.