В треугольнике MPK MP=PK а высота MH делит сторону PK на отрезки PH=8 HK=8. Найдите cos∠P

Для нахождения cos∠P используем теорему косинусов: cos∠P = (MP^2 + PK^2 - MK^2) / (2 MP PK). Из условия MK = 8, MP = PK = x, PH = 8, HK = 8, получаем x^2 = 64 + 64 + 64, x = 8√3. Подставляем данные в формулу и находим cos∠P.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим угол P как α.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника MHP, получаем: MP^2 = MH^2 + PH^2 PK^2 = HK^2 + PH^2 Так как MP = PK, то: MH^2 + PH^2 = HK^2 + PH^2 MH^2 = HK^2 MH = HK Из условия задачи следует, что MH = HK = 8.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника MPK: cos(α) = (MP^2 + PK^2 - MK^2) / (2 MP PK) cos(α) = (MP^2 + MP^2 - 2MP^2 cos(α)) / (2 MP^2) cos(α) = 2 - 2 cos(α) 2 cos(α) = 2 - cos(α) 3 cos(α) = 2 cos(α) = 2/3

Таким образом, cos(α) = 2/3.

Рассмотрим треугольник ( MPK ), в котором ( MP = PK ), а высота ( MH ) делит сторону ( PK ) на отрезки ( PH = 8 ) и ( HK = 8 ).

1. Нахождение длины стороны ( PK ):

   Так как ( PH ) и ( HK ) являются частями стороны ( PK ) и их длины равны ( 8 ), то [ PK = PH + HK = 8 + 8 = 16. ]

2. Свойства равнобедренного треугольника:

   Треугольник ( MPK ) является равнобедренным с равными сторонами ( MP ) и ( PK ). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Значит, точка ( H ) является серединой основания ( PK ).

3. Нахождение длины ( MH ):

   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ( MHP ) (так как ( MH ) является высотой и перпендикулярна стороне ( PK )): [ PH = HK = 8. ] Для нахождения длины стороны ( MP ), обозначим её через ( a ) (так как ( MP = PK ), ( a = 16 )).

4. Использование теоремы Пифагора:

   В прямоугольном треугольнике ( MHP ) по теореме Пифагора: [ MP^2 = MH^2 + PH^2. ] Обозначим ( MH ) через ( h ): [ a^2 = h^2 + 8^2. ] Подставляем ( a = 16 ): [ 16^2 = h^2 + 8^2, ] [ 256 = h^2 + 64, ] [ h^2 = 256 - 64 = 192, ] [ h = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}. ]

5. Нахождение ( \cos \angle P ):

   Рассмотрим треугольник ( MHP ). Углы ( \angle MHP ) и ( \angle MHK ) равны, так как треугольник равнобедренный и ( H ) делит угол при вершине пополам.

   В треугольнике ( MHP ): [ \cos \angle P = \cos \angle MHP = \frac{PH}{MP}, ] [ \cos \angle P = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}. ]

Таким образом, ( \cos \angle P ) равен ( \frac{1}{2} ).