В треугольнике MNK сторона MN поделена на 3 равные части и через точки деления проведено прямые параллельны...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами параллельных прямых. Поскольку отрезок, который находится между сторонами треугольника и параллелен стороне MK, делит сторону MN на три равные части, то мы можем сказать, что это отрезок делит сторону MK также на три равные части.

Пусть длина стороны MK равна x. Тогда длина каждой из трех равных частей стороны MK будет x/3.

Таким образом, если одна из частей стороны MK равняется 16 см, то x/3 = 16, откуда x = 48 см.

Итак, длина стороны MK треугольника равна 48 см.

В треугольнике ( \triangle MNK ) сторона ( MN ) поделена на три равные части, то есть каждая часть имеет длину ( \frac{MN}{3} ). Через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ( MK ). Эти прямые разделяют треугольник на несколько более мелких треугольников, подобные исходному треугольнику ( \triangle MNK ).

Поскольку прямые параллельны стороне ( MK ), по теореме о пропорциональных отрезках (или по теореме Талеса), все треугольники, образованные этими прямыми, будут подобны исходному треугольнику ( \triangle MNK ). То есть их стороны пропорциональны сторонам треугольника ( \triangle MNK ).

Давайте обозначим точки деления как ( A ) и ( B ) (таким образом, ( M ) - начало отрезка, ( A ) - первая точка деления, ( B ) - вторая точка деления, ( N ) - конец отрезка). Тогда ( MA = AB = BN = \frac{MN}{3} ).

Через ( A ) и ( B ) проведены прямые, параллельные ( MK ), и они пересекают сторону ( NK ) в точках ( C ) и ( D ) соответственно.

Поскольку треугольники ( \triangle MAC ), ( \triangle ABD ), и ( \triangle BNK ) подобны треугольнику ( \triangle MNK ), их высоты к основанию ( MK ) также пропорциональны.

Дано, что больший из двух отрезков, находящихся между сторонами треугольника, равен 16 см. Это означает, что высота отрезка ( CD ) в треугольнике ( \triangle ABD ) равна 16 см.

Отношение высот ( \frac{h{ABD}}{h{MNK}} = \frac{AB}{MN} = \frac{\frac{MN}{3}}{MN} = \frac{1}{3} ), где ( h{ABD} ) - высота треугольника ( \triangle ABD ), а ( h{MNK} ) - высота всего треугольника ( \triangle MNK ).

Следовательно, если высота ( CD ) равна 16 см, то высота ( h_{MNK} ) равна ( 3 \times 16 = 48 ) см.

Поскольку треугольники подобны, отношение длин сторон ( \frac{MK_{ABD}}{MK} = \frac{AB}{MN} = \frac{1}{3} ).

Таким образом, если основание ( MK_{ABD} ) равно 16 см, то основание ( MK ) равно ( 3 \times 16 = 48 ) см.

Ответ: длина стороны ( MK ) треугольника равна 48 см.