В треугольнике две стороны равны 5см и 21см, а угол между ними 60 градусов. Найдите третью сторону....

1. Третья сторона треугольника равна 16 см.
2. Треугольник ABC имеет стороны AB=4 см, BC=16 см, AC=7 см.
3. Угол, противолежащий стороне 6√2 см, равен 60 градусов. Задача имеет 2 решения.

1. Для нахождения третьей стороны треугольника, можно воспользоваться косинусным законом: c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos$C$ c^2 = 5^2 + 21^2 - 2521cos$60$ c^2 = 25 + 441 - 210cos$60$ c^2 = 466 - 2100.5 c^2 = 361 c = √361 c = 19 см

2. Для решения треугольника ABC, можно воспользоваться синусовым законом: sin$A$/a = sin$B$/b = sin$C$/c sin$A$/7 = sin$45$/4^2 = sin$B$/7 sin$A$ = 7sin$45$/4^2 sin$A$ = 7√2/16 A = arcsin$7\ast \surd 2/16$ A ≈ 27.74 градусов B = 180 - 45 - 27.74 B ≈ 107.26 градусов

3. Угол, противолежащий данной стороне во вписанном треугольнике, можно найти по следующей формуле: 2arcsin(длина стороны / 2радиус окружности) 2arcsin(6√2 / 26) 2arcsin$\surd 2/2$ 2arcsin$\surd 2/2$ угол ≈ 90 градусов

Задача имеет единственное решение.

Для решения предложенных задач, рассмотрим каждую по порядку:

1. Треугольник с двумя сторонами и углом между ними Даны стороны 5 см и 21 см, и угол между ними 60 градусов. Третью сторону можно найти по теореме косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta$ где $a=5$ см, $b=21$ см, и $\theta ={60}^{\circ }$. $c^2=5^2+{21}^2-2\cdot 5\cdot 21\cdot \cos {60}^{\circ }$ $c^2=25+441-210\cdot 0.5=25+441-105=361$ $c=\sqrt{361}=19\text{ см}$

2. Треугольник ABC Дано $BC=4^2\text{ см}=16\text{ см}$, $AC=7\text{ см}$, $\mathrm{\angle }C={45}^{\circ }$. Используем теорему синусов для нахождения угла $\mathrm{\angle }B$ и теорему косинусов для стороны $AB$: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ $\frac{AB}{\sin {45}^{\circ }}=\frac{16}{\sin B}=\frac{7}{\sin ({180}^{\circ }-{45}^{\circ }-B)}$ Решение системы уравнений требует расчетов, включая использование функций синуса и косинуса.

3. Треугольник вписанный в окружность Диаметр окружности 12 см, значит радиус $R=6$ см. Сторона вписанного треугольника равна $6\sqrt{2}$ см. Угол, противолежащий стороне $a$, находится из формулы: $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{a}{2R}$ $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{6\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\alpha }{2}={45}^{\circ }⟹\alpha ={90}^{\circ }$

Сколько решений имеет задача? Каждая из поставленных задач имеет единственное решение. В первом случае третья сторона однозначно определена теоремой косинусов. Во втором случае треугольник решается путем последовательного применения теорем косинусов и синусов. В третьем случае угол также однозначно определен через свойства вписанных углов и радиуса окружности.