В треугольнике АВС AC=BC,AB=102,высота CH=51 корень 3.Найдите угол С.Ответ дайте в градусах.

В треугольнике АВС, где AC = BC, треугольник является равнобедренным. Высота CH делит основание AB пополам. Обозначим AH = HB = x. Тогда по теореме Пифагора:

[ CH^2 = AC^2 - AH^2 ]

Поскольку AC = BC, то:

[ 51\sqrt{3}^2 = AC^2 - x^2 ] [ 7803 = AC^2 - x^2 ]

Также известно, что AB = 102, следовательно, x = 51.

Подставим:

[ 7803 = AC^2 - 51^2 ] [ 7803 = AC^2 - 2601 ] [ AC^2 = 10404 ] [ AC = 102 ]

Теперь мы можем найти угол C. В равнобедренном треугольнике, используя тангенс угла:

[ \tan(C/2) = \frac{CH}{AH} = \frac{51\sqrt{3}}{51} = \sqrt{3} ]

Следовательно, ( C/2 = 60^\circ ), и угол C равен:

[ C = 120^\circ ]

Ответ: угол C = 120°.

В данном треугольнике ABC, где AC = BC, мы имеем равнобедренный треугольник, где AB = 102, а высота CH (опущенная из вершины C на сторону AB) равна 51√3.

1. Найдем основание CH: Поскольку CH – это высота, то точка H делит отрезок AB на два равных отрезка, так как треугольник равнобедренный. Обозначим AH = x, тогда BH = x, и поскольку AB = AH + BH, мы можем записать: [ 2x = 102 \quad \Rightarrow \quad x = 51. ] Таким образом, AH = BH = 51.

2. Используем теорему Пифагора: В треугольнике CHB (прямоугольный треугольник), мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны CB: [ CH^2 + BH^2 = CB^2. ] Подставим известные значения: [ (51\sqrt{3})^2 + 51^2 = CB^2. ] Посчитаем: [ (51\sqrt{3})^2 = 51^2 \cdot 3 = 2601 \cdot 3 = 7803, ] [ 51^2 = 2601. ] Теперь складываем: [ CB^2 = 7803 + 2601 = 10404. ] Найдем CB: [ CB = \sqrt{10404} = 102. ]

3. Теперь найдем угол C: Поскольку AC = BC = 102, и AB = 102, треугольник ABC является равносторонним. Углы в равностороннем треугольнике равны, и каждый угол составляет: [ \frac{180}{3} = 60 \text{ градусов}. ]

Таким образом, угол C равен 60 градусам. Ответ: угол C = 60°.

Давайте решим задачу шаг за шагом. Нам дан равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ), в котором ( AC = BC ), ( AB = 102 ), и высота ( CH = 51\sqrt{3} ). Требуется найти угол ( \angle C ).

Шаг 1. Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, также является медианой и биссектрисой. Это значит, что высота ( CH ) делит сторону ( AB ) на две равные части. Поэтому: [ AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{102}{2} = 51. ]

Шаг 2. Прямоугольные треугольники

Высота ( CH ) образует два прямоугольных треугольника: ( \triangle ACH ) и ( \triangle BCH ). Рассмотрим, например, ( \triangle ACH ). В этом треугольнике:

• Гипотенуза ( AC ) равна стороне ( AC ) треугольника,
• Один из катетов ( AH = 51 ),
• Другой катет ( CH = 51\sqrt{3} ).

Шаг 3. Найдём длину ( AC )

Используем теорему Пифагора для ( \triangle ACH ): [ AC^2 = AH^2 + CH^2. ] Подставляем данные: [ AC^2 = 51^2 + (51\sqrt{3})^2. ] Вычислим квадраты: [ 51^2 = 2601, \quad (51\sqrt{3})^2 = 51^2 \cdot 3 = 2601 \cdot 3 = 7803. ] Складываем: [ AC^2 = 2601 + 7803 = 10404. ] Берём квадратный корень: [ AC = \sqrt{10404} = 102. ]

Таким образом, ( AC = BC = 102 ), что соответствует равнобедренному треугольнику.

Шаг 4. Найдём угол ( \angle C )

Теперь мы можем найти ( \angle C ) с использованием тригонометрических функций. В треугольнике ( \triangle ACH ): [ \tan \angle ACH = \frac{CH}{AH}. ] Подставляем значения: [ \tan \angle ACH = \frac{51\sqrt{3}}{51} = \sqrt{3}. ] Из таблицы углов известно, что: [ \tan 60^\circ = \sqrt{3}. ] Следовательно: [ \angle ACH = 60^\circ. ]

Так как ( \triangle ABC ) равнобедренный, угол ( \angle C ) равен удвоенному углу ( \angle ACH ), то есть: [ \angle C = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ. ]

Ответ:

Угол ( \angle C ) равен ( \mathbf{120^\circ} ).