В треугольнике abc угол с равен 90, AC=6, tgA=(2√10)/3. Найдите AB.

Давайте рассмотрим треугольник (ABC), где угол (C) равен (90^\circ). Известно, что (AC = 6) и (\tan A = \frac{2\sqrt{10}}{3}).

В прямоугольном треугольнике (ABC) угол (C) является прямым, поэтому катеты (AC) и (BC) и гипотенуза (AB) связаны между собой.

Сначала воспользуемся тем, что (\tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}). В данном треугольнике противолежащий катет углу (A) — это (BC), а прилежащий катет — это (AC).

Запишем это в виде уравнения: [ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{2\sqrt{10}}{3} ]

Подставим значение (AC): [ \frac{BC}{6} = \frac{2\sqrt{10}}{3} ]

Теперь решим это уравнение для (BC): [ BC = 6 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{3} = \frac{12\sqrt{10}}{3} = 4\sqrt{10} ]

Теперь, когда известны оба катета (AC) и (BC), можем найти гипотенузу (AB) с помощью теоремы Пифагора: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] [ AB^2 = 6^2 + (4\sqrt{10})^2 ] [ AB^2 = 36 + 16 \cdot 10 ] [ AB^2 = 36 + 160 ] [ AB^2 = 196 ] [ AB = \sqrt{196} = 14 ]

Таким образом, длина гипотенузы (AB) равна (14).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой тангенсов в прямоугольном треугольнике.

Из условия задачи известно, что tg(A) = (AB/AC) = (2√10)/3. Также известно, что угол C равен 90 градусов, а AC = 6.

Используя теорему Пифагора, найдем длину гипотенузы треугольника ABC: AB^2 + AC^2 = BC^2 AB^2 + 6^2 = BC^2 AB^2 + 36 = BC^2

Также, учитывая, что tg(A) = AB/AC, получаем: AB = tg(A) AC AB = (2√10/3) 6 AB = 4√10

Подставляем найденное значение AB в уравнение Пифагора: (4√10)^2 + 36 = BC^2 16*10 + 36 = BC^2 160 + 36 = BC^2 196 = BC^2 BC = 14

Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC равна 4√10, а длина гипотенузы BC равна 14.