В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов AB= 5 тангенс угла А 3/4 Найдите высоту CH

Для решения данной задачи будем использовать свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические соотношения.

Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C, значит, стороны AC и BC являются катетами, а AB - гипотенузой. По условию задачи, AB = 5 и тангенс угла A равен 3/4. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. В данной задаче, если угол A расположен против катета BC, то BC является противолежащим катетом, а AC - прилежащим. Таким образом,

[ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} ]

Выразим BC через AC:

[ BC = \frac{3}{4} AC ]

Используя теорему Пифагора для треугольника ABC, получаем:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] [ 5^2 = AC^2 + \left(\frac{3}{4} AC\right)^2 ] [ 25 = AC^2 + \frac{9}{16} AC^2 ] [ 25 = AC^2 \left(1 + \frac{9}{16}\right) ] [ 25 = AC^2 \cdot \frac{25}{16} ] [ AC^2 = \frac{25 \cdot 16}{25} ] [ AC^2 = 16 ] [ AC = 4 ]

Теперь найдем BC:

[ BC = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 ]

Высота CH в прямоугольном треугольнике ABC, опущенная из угла C на гипотенузу AB, также является высотой для обоих катетов. Определим её, используя свойство высоты в прямоугольном треугольнике, согласно которому произведение проекций катетов на гипотенузу равно квадрату высоты, опущенной на гипотенузу:

[ CH^2 = AC{proj} \cdot BC{proj} ] [ CH^2 = AC \cdot BC ] [ CH^2 = 4 \cdot 3 ] [ CH^2 = 12 ] [ CH = \sqrt{12} ] [ CH = 2\sqrt{3} ]

Таким образом, высота CH треугольника ABC равна (2\sqrt{3}).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать определение тангенса угла. Тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае, тангенс угла A равен 3/4, что означает, что противолежащий катет к углу A равен 3, а прилежащий катет равен 4.

Так как угол C равен 90 градусов, то треугольник ABC является прямоугольным, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы. По теореме Пифагора: AB^2 = AC^2 + BC^2. Подставляя известные значения, получаем: 5^2 = AC^2 + 4^2. Решая уравнение, находим длину гипотенузы AC, которая равна 5√5.

Теперь, чтобы найти высоту CH, мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника, в котором высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника. Таким образом, отношение сторон полученных треугольников будет равно отношению сторон исходного треугольника.

Высота CH является катетом прямоугольного треугольника, и мы можем записать следующее соотношение: CH/AC = BC/AB. Подставляя известные значения, получаем: CH/5√5 = 4/5. Решая уравнение, находим длину высоты CH, которая равна 4√5.