В треугольнике ABC угол B равен 110 градусов, AD - биссектриса угла A, угол C меньше угла ADB в три...

Давайте разберем задачу по шагам.

1. Дано:

   • Угол ( \angle B = 110^\circ ).
   • ( AD ) — биссектриса угла ( \angle A ).
   • Угол ( \angle C ) меньше угла ( \angle ADB ) в три раза.

2. Цель:

   • Найти градусную меру угла ( \angle C ).

3. Рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ):

   • По теореме о сумме углов треугольника: [ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. ]
   • Подставим известное значение угла ( \angle B ): [ \angle A + 110^\circ + \angle C = 180^\circ. ]
   • Упростим уравнение: [ \angle A + \angle C = 70^\circ. ]

4. Рассмотрим информацию о биссектрисе:

   • Поскольку ( AD ) — биссектриса угла ( \angle A ), то: [ \angle ADB = \angle C + \angle ADB = \frac{\angle A}{2}. ]

5. Используем информацию о соотношении углов:

   • По условию задачи ( \angle C ) в три раза меньше угла ( \angle ADB ): [ \angle C = \frac{1}{3} \angle ADB. ]
   • Следовательно: [ \angle ADB = 3 \angle C. ]

6. Совмещаем уравнения:

   • Мы знаем, что: [ \angle ADB = \frac{\angle A}{2} = 3 \angle C. ]
   • Следовательно, можно выразить ( \angle C ) через ( \angle A ): [ 3 \angle C = \frac{\angle A}{2}. ] [ \angle C = \frac{\angle A}{6}. ]

7. Подставим ( \angle C ) в уравнение суммы углов треугольника:

   • Мы имеем: [ \angle A + \frac{\angle A}{6} = 70^\circ. ]
   • Преобразуем уравнение: [ \frac{6\angle A + \angle A}{6} = 70^\circ, ] [ \frac{7\angle A}{6} = 70^\circ, ] [ 7\angle A = 420^\circ, ] [ \angle A = 60^\circ. ]

8. Найдем ( \angle C ):

   • Теперь, когда мы знаем ( \angle A ), подставим его в выражение для угла ( \angle C ): [ \angle C = \frac{\angle A}{6} = \frac{60^\circ}{6} = 10^\circ. ]

Таким образом, градусная мера угла ( \angle C ) равна ( 10^\circ ), что не совпадает с вашим заданием. Возможно, в самом условии задачи или в расчетах была допущена ошибка, так как в результате мы не получаем угол ( 14^\circ ).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство биссектрисы треугольника. По определению биссектрисы угла, отрезок AD делит угол A на два равных угла.

Поскольку угол B равен 110 градусам, то угол A равен 2 * 110 = 220 градусов.

Так как угол C меньше угла ADB в три раза, то угол C равен 3 угол ADB. Так как угол ADB равен половине угла A, то угол C = 3 (1/2) угол A = 3 110 = 330 градусов.

Таким образом, сумма углов треугольника равна 180 градусов, следовательно, угол C = 330 - 180 = 150 градусов.

Далее, чтобы найти угол B, нам необходимо вычесть из суммы углов треугольника углы A и C: угол B = 180 - 220 - 150 = 180 - 370 = -190 градусов.

Однако, угол не может быть отрицательным, так что мы можем просто добавить 360 градусов, чтобы получить правильный ответ: угол B = -190 + 360 = 170 градусов.

Таким образом, угол B равен 170 градусов.