В треугольнике ABC угол A=45, высота BO делит сторону AC на отрезки AO=4 и СО=8. Найдите длину медианы,...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством медианы треугольника, которое гласит, что медиана, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны, делит эту сторону пополам.

Поскольку высота BO делит сторону AC на отрезки AO=4 и CO=8, то мы можем найти длину отрезка AC. Суммируя данные отрезки, получаем AC = AO + CO = 4 + 8 = 12.

Так как медиана, проведенная из вершины C, делит сторону AB пополам, то отношение длины медианы к длине стороны AB равно 1:2. Следовательно, медиана, проведенная из вершины C, равна половине стороны AB.

Так как угол A равен 45 градусов, то треугольник ABC является прямоугольным. Поэтому сторона AB равна AC sin A = 12 sin 45° = 12 * √2 / 2 = 6√2.

Таким образом, длина медианы, проведенной из вершины C, равна половине стороны AB, то есть 6√2 / 2 = 3√2.

Чтобы найти длину медианы, проведенной из вершины ( C ) в треугольнике ( ABC ), начнем с анализа данных и применим известные теоремы и формулы.

Даны:

• (\angle A = 45^\circ)
• Высота ( BO ) делит сторону ( AC ) на отрезки ( AO = 4 ) и ( CO = 8 ).

Сначала найдем длину стороны ( AC ): [ AC = AO + CO = 4 + 8 = 12. ]

Введем обозначения:

• ( B ) — вершина треугольника, из которой опущена высота на сторону ( AC ).
• ( O ) — точка пересечения высоты ( BO ) с ( AC ).

Так как ( BO ) — это высота, она перпендикулярна стороне ( AC ). Треугольник ( ABO ) — прямоугольный с углом ( \angle A = 45^\circ ). В прямоугольном треугольнике, если один из углов равен ( 45^\circ ), то катеты равны.

Из этого следует, что: [ BO = AO \cdot \tan(45^\circ) = AO = 4. ]

Теперь найдем длину стороны ( BC ) с помощью теоремы Пифагора в треугольнике ( BOC ): [ BC^2 = BO^2 + CO^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80. ] [ BC = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}. ]

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника ( ABC ):

• ( AC = 12 )
• ( BC = 4\sqrt{5} )
• ( AB ) найдем также по теореме Пифагора: [ AB^2 = AO^2 + BO^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32. ] [ AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. ]

Теперь, чтобы найти длину медианы ( CM ), проведенной из вершины ( C ) на сторону ( AB ), используем формулу длины медианы в треугольнике: [ CM = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4}}. ]

Подставим известные значения: [ AB = 4\sqrt{2}, ] [ BC = 4\sqrt{5}, ] [ AC = 12. ]

Вычислим: [ AB^2 = 32, ] [ BC^2 = 80, ] [ AC^2 = 144. ]

Подставим в формулу медианы: [ CM = \sqrt{\frac{2 \cdot 32 + 2 \cdot 80 - 144}{4}} = \sqrt{\frac{64 + 160 - 144}{4}} = \sqrt{\frac{80}{4}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. ]

Итак, длина медианы, проведенной из вершины ( C ) в треугольнике ( ABC ), равна ( 2\sqrt{5} ).