В треугольнике ABC угол A=30, угол B=45, а сторона BC=3 корня из 2см.Используя теорему синусов, найдите...

Для решения задачи о нахождении стороны ( AC ) в треугольнике ( ABC ) с известными углами ( A ) и ( B ) и стороной ( BC ) (обозначим её через ( a )), воспользуемся теоремой синусов.

Теорема синусов гласит, что в любом треугольнике отношения длины каждой стороны к синусу противолежащего угла равны:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( A, B, C ) — углы, противолежащие этим сторонам.

Дано:

• Угол ( A = 30^\circ )
• Угол ( B = 45^\circ )
• Сторона ( a = BC = 3\sqrt{2} \text{ см} )

Сначала найдем угол ( C ). Сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ):

[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ ]

Теперь применим теорему синусов к треугольнику ( ABC ):

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Нам нужно найти сторону ( AC ) (обозначим её через ( b )). Выразим ( b ) через теорему синусов:

[ \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} ]

Отсюда:

[ b = a \cdot \frac{\sin B}{\sin A} ]

Подставим известные значения:

[ a = 3\sqrt{2}, \quad \sin A = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin B = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Тогда:

[ b = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}/2}{1/2} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{1} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6 ]

Таким образом, длина стороны ( AC ) равна ( 6 ) см.

Для нахождения стороны AC в треугольнике ABC воспользуемся теоремой синусов.

Согласно теореме синусов, отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Таким образом, мы можем записать: AC/sin(A) = BC/sin(B)

Подставляем известные значения: AC/sin(30) = 3√2/sin(45)

sin(30) = 1/2, sin(45) = √2/2 AC/(1/2) = 3√2/(√2/2)

Далее упростим уравнение: AC = 3√2 / (√2/2) AC = (3√2 * 2) / √2 AC = 6

Итак, сторона AC равна 6 см.