В треугольнике ABC угол A=20 градусам, угол B=40 градусам, AB=12 см. Найдите радиус окружности, описанной...

Для нахождения радиуса описанной окружности в треугольнике ABC, нам нужно использовать теорему описанного угла. Согласно этой теореме, радиус описанной окружности треугольника равен отношению произведения сторон треугольника к удвоенной сумме сторон треугольника.

Давайте обозначим радиус описанной окружности как R. Тогда мы можем записать уравнение: R = (AB BC AC) / (4 * S), где AB = 12 см, а S - площадь треугольника ABC.

Для нахождения площади треугольника ABC мы можем воспользоваться формулой: S = (1/2) AB BC * sin(A), где sin(A) - синус угла A.

Известно, что угол A = 20 градусам, а угол B = 40 градусам. Таким образом, угол C = 180 - A - B = 120 градусов.

Теперь мы можем вычислить синус угла A: sin(20) = sin(A) = sin(20°) ≈ 0.3420.

Подставим все значения в формулу для площади треугольника: S = (1/2) 12 BC * 0.3420.

Далее, подставляем найденное значение S в формулу для радиуса описанной окружности: R = (12 BC (1/2) 12 BC 0.3420) / (4 S).

После расчетов получим значение радиуса описанной окружности.

В треугольнике, если известны два угла, третий угол можно найти, используя сумму углов треугольника. Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам. Поэтому угол C в треугольнике ABC можно найти так:

[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 20^\circ - 40^\circ = 120^\circ. ]

Теперь мы знаем все углы треугольника ABC: (\angle A = 20^\circ), (\angle B = 40^\circ), (\angle C = 120^\circ).

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника (обозначим его ( R )), можно воспользоваться формулой, связывающей стороны треугольника и радиус описанной окружности:

[ R = \frac{a}{2 \cdot \sin A} ]

где ( a ) — сторона треугольника, противолежащая углу ( A ).

Однако у нас известна сторона ( AB = 12 ) см, которая лежит против угла ( C ). Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, удобнее использовать другую формулу, основанную на синусе угла ( C ):

[ R = \frac{c}{2 \cdot \sin C} ]

где ( c = AB = 12 ) см, и ( \angle C = 120^\circ ).

Теперь найдем ( \sin C ):

[ \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Теперь подставим значения в формулу для ( R ):

[ R = \frac{12}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3}. ]

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен ( 4 \sqrt{3} ) см.