В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK=1/3AB. Площадь треугольника...

Для решения данной задачи рассмотрим треугольник ABC, в котором проведена медиана BM, делящая сторону AC на две равные части: AM = MC. Также на стороне AB взята точка K такая, что AK = (\frac{1}{3})AB. Площадь треугольника AMK равна 5. Нам нужно найти площадь всего треугольника ABC.

1. Отношение длин сторон: Так как AK = (\frac{1}{3})AB, то BK = AB - AK = AB - (\frac{1}{3})AB = (\frac{2}{3})AB.

2. Площадь треугольника ABM: Поскольку BM — это медиана, то она делит треугольник ABC на два треугольника одинаковой площади: ABM и BCM. Таким образом, площадь треугольника ABM равна половине площади треугольника ABC.

3. Отношение площадей: Рассмотрим отношение площадей треугольников AMK и ABM. Поскольку точка K делит AB в отношении 1:2, и треугольник AMK находится внутри треугольника ABM, то высоты треугольников AMK и ABM, опущенные из вершины A на сторону BM, будут одинаковыми. Следовательно, отношение площадей этих треугольников определяется только отношением их оснований.

4. Площадь треугольника AMK и ABK: Отношение оснований AK и AB составляет AK : AB = 1 : 3. Поэтому площадь треугольника AMK составляет (\frac{1}{3}) от площади треугольника ABM, так как высоты из точки A в обоих треугольниках одинаковы.

5. Площадь треугольника ABM: Пусть площадь треугольника ABM равна S. Тогда площадь треугольника AMK равна (\frac{1}{3})S.

6. Связь с известной площадью: Из условия задачи известно, что площадь треугольника AMK равна 5. То есть: [ \frac{1}{3}S = 5 \implies S = 15 ]

7. Площадь треугольника ABC: Площадь треугольника ABC в два раза больше площади треугольника ABM, потому что медиана BM делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника ABM и BCM: [ \text{Площадь } \triangle ABC = 2 \times S = 2 \times 15 = 30 ]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 30.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства медианы треугольника.

Площадь треугольника AMK можно выразить как половину площади треугольника ABC, так как треугольники AMK и BMC имеют общую высоту (медиану BM). То есть площадь треугольника AMK равна половине площади треугольника ABC.

Площадь треугольника AMK равна 5, следовательно, площадь треугольника ABC равна 10.

Итак, площадь треугольника ABC равна 10.

Площадь треугольника ABC равна 15.