В треугольнике ABC проведена медиана BM и на стороне BC взята такая точка K, что BK=BO, где точка O...

Рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ) с медианой ( BM ), где ( M ) — середина стороны ( AC ). На стороне ( BC ) выбрана точка ( K ) такая, что ( BK = BO ), где ( O ) — точка пересечения отрезков ( AK ) и ( BM ).

Из условия задачи известно, что ( BK = BO ). Это означает, что точка ( O ) является серединой отрезка ( BK ). Следовательно, ( OK = \frac{BK}{2} ).

Также известно, что ( KC = 5 ). Поскольку точка ( O ) делит ( BK ) пополам, ( BC = BK + KC = 2 \cdot OK + KC ).

Теперь давайте выразим ( BM ) и отношение, в котором медиана делится точкой ( O ). Известно, что медиана делится точкой пересечения медиан (центроидом треугольника) в отношении ( 2:1 ), но поскольку ( O ) не обязательно является центроидом, мы должны использовать свойства отрезков.

Так как ( O ) делит отрезок ( BK ) пополам, а ( BM ) является медианой, ( O ) также делит ( BM ) в том же отношении, в котором делится отрезок ( AK ) на отрезки ( AO ) и ( OK ). То есть, если ( AO = x ) и ( OK = \frac{BK}{2} ), то ( OM = \frac{2}{3} \cdot OM + \frac{1}{3} \cdot OK ) согласно теореме о медиане.

Теперь выразим ( OM ) через ( x ): [ OM = \frac{2}{3}(OM) + \frac{1}{3} \cdot \frac{BK}{2} ] [ OM = \frac{2}{3}(OM) + \frac{1}{6} \cdot BK ]

Из условия задачи: ( BK = 5 + OK ). Поскольку ( OK = \frac{BK}{2} ), то ( BK = 5 + \frac{BK}{2} ).

Решим это уравнение для ( BK ): [ BK = 5 + \frac{BK}{2} ] [ 2BK = 10 + BK ] [ BK = 10 ]

Значит, ( BK = 10 ), и ( OK = \frac{10}{2} = 5 ).

Подставим значение ( OK ) в уравнение для ( OM ): [ OM = \frac{2}{3}OM + \frac{1}{6} \cdot 10 ] [ OM = \frac{2}{3}OM + \frac{5}{3} ] [ OM - \frac{2}{3}OM = \frac{5}{3} ] [ \frac{1}{3}OM = \frac{5}{3} ] [ OM = 5 ]

Таким образом, длина отрезка ( OM ) равна 5.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о медиане треугольника, которая гласит, что медиана треугольника делит ее противоположную сторону пополам.

Поскольку BK=BO, то треугольник BOK является равнобедренным. Из этого следует, что угол BOK равен углу BKO.

Так как медиана BM является высотой треугольника BOK, то угол BMK равен углу BKO. Следовательно, угол BMK равен углу BOK.

Таким образом, треугольники BOK и KCM подобны, поскольку у них углы BMK и KCM равны.

С учетом этого, мы можем записать пропорцию для подобных треугольников:

BO/OK = KC/CM.

Из условия задачи известно, что KC=5. Также мы знаем, что BO=OK, так как треугольник BOK равнобедренный.

Следовательно, BO/OK = 1.

Таким образом, 1 = 5/CM.

Отсюда находим, что CM=5.

Так как медиана BM делит сторону AC пополам, то AM=MC=5.

Теперь мы видим, что треугольник AOM также является равнобедренным, так как AM=MC.

Следовательно, OM=OA=AM=5.

Итак, OM=5.