В трапеции AВСD (AD и ВС основание) диагонали пересекаются в точке О, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите...

Для решения задачи воспользуемся свойством трапеции и соотношением площадей треугольников, образованных диагоналями.

В трапеции (ABCD) с основаниями (AD) и (BC) диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O). Дано, что (AD = 12) см и (BC = 4) см. Площадь треугольника (AOD) равна (45) см². Требуется найти площадь треугольника (BOC).

Одним из свойств трапеции является то, что площади треугольников, на которые диагонали разбивают трапецию, пропорциональны основаниям этой трапеции. То есть:

[ \frac{S{AOD}}{S{BOC}} = \frac{AD}{BC} ]

Подставим известные значения:

[ \frac{45}{S_{BOC}} = \frac{12}{4} ]

Упростим пропорцию:

[ \frac{45}{S_{BOC}} = 3 ]

Теперь выразим (S_{BOC}):

[ S_{BOC} = \frac{45}{3} = 15 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника (BOC) равна (15) см².

Для начала рассмотрим треугольники AOD и BOC. Поскольку они подобны (по двум углам), то отношение их площадей равно квадрату отношения длин сторон, соответствующих этим углам. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

S(BОС) / S(AOD) = (BC^2) / (AD^2)

S(BОС) / 45 = 4^2 / 12^2

S(BОС) = 45 (4^2 / 12^2) = 45 (16 / 144) = 5 см^2

Итак, площадь треугольника BOC равна 5 квадратным сантиметрам.