. В трапеции AВCD основания ВС и AD относятся как 1:2. Пусть K- середина диагонали AC. Прямая DK пересекает...

а) Пусть M - середина отрезка BC. Так как BC и AD параллельны и относятся как 1:2, то точки M и K также делят диагональ AC пополам. Из этого следует, что треугольники ADK и MCK подобны (по двум сторонам и углу между ними). Так как CK = KM, то DK делит сторону AB пополам, то есть AL = 2BL.

б) Площадь треугольника ABC равна 9, а значит высота треугольника ABC, проведенная из вершины C, равна 6 (потому что BC = 3). Так как треугольники ABC и BKC подобны (по двум углам), то высота BKC, проведенная из вершины B, равна 4 (6/32). Площадь четырехугольника BCKL равна 1/2 BL h, где h - высота BKC, равная 4, а BL = 1/3 BC = 1. Поэтому площадь четырехугольника BCKL равна 1/2 1 4 = 2.

Для решения задачи рассмотрим трапецию (ABCD), где (BC \parallel AD) и основания (BC) и (AD) относятся как (1:2). То есть, если длина (BC = x), то длина (AD = 2x).

а) Доказательство, что (AL = 2BL)

Пусть (AC) — диагональ трапеции, а (K) — середина этой диагонали. Нам нужно доказать, что если прямая (DK) пересекает сторону (AB) в точке (L), то (AL = 2BL).

1. Свойства трапеции и средняя линия: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований. Так как (K) — середина диагонали (AC), то вектор (\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{KC}).

2. Свойства векторов и отношение сторон: Из соотношения оснований (BC) и (AD), а также из того, что (K) — середина диагонали, следует, что линия (DK) делит сторону (AB) в отношении, равном отношению оснований. Это связано с теоремой о средней линии и свойством деления отрезков в отношении.

3. Пропорции: Поскольку (BC:AD = 1:2), и (K) делит диагональ в отношении 1:1, линия (DK) делит (AB) в том же отношении, то есть (AL:BL = 2:1).

Таким образом, доказано, что (AL = 2BL).

б) Найдем площадь четырехугольника (BCKL)

Дано, что площадь всей трапеции (ABCD) равна 9.

1. Разбиение площади: Заметим, что (AL = 2BL) означает, что точка (L) делит сторону (AB) в отношении (2:1). Соответственно, площадь треугольника (ABL) составляет (\frac{1}{3}) от площади треугольника (ABD).

2. Площадь треугольников: Треугольник (ABL) занимает (\frac{1}{3}) от треугольника (ABD), а треугольник (BDL) занимает (\frac{2}{3}) от площади треугольника (ABD).

3. Вычисление площади: Поскольку (BC) и (AD) параллельны, четырехугольник (BCKL) также является трапецией. Площадь трапеции (BCKL) составляет часть площади трапеции (ABCD).

4. Расчёт площади: Рассмотрим разницу площадей. Площадь четырехугольника (BCKL) равна площади трапеции (ABCD) за вычетом площади треугольника (ADK). Площадь треугольника (ADK) пропорциональна площади трапеции, так как основание (AD) в два раза больше (BC), а высота остается той же.

Так как площадь трапеции равна 9, и зная, что (AL:BL = 2:1), площадь четырехугольника (BCKL) будет занимать (\frac{2}{3}) от площади трапеции, так как (L) делит диагональ в отношении 2:1. Следовательно, площадь (BCKL) равна (9 \times \frac{2}{3} = 6).

Таким образом, площадь четырехугольника (BCKL) равна 6.

а) Поскольку DK - медиана треугольника ADC, то точка K делит сторону AC пополам, то есть AK = KC. Также, по условию, отношение BC к AD равно 1:2, следовательно, AK = 2KC. Таким образом, AK = 2KC = KC + KC = KL + KC = AL. Аналогично, BK = BL. Таким образом, AL = 2BL.

б) Площадь четырехугольника BCKL равна сумме площадей треугольников BKL и BCK. Площадь треугольника BKL равна (BLKL)/2, а площадь треугольника BCK равна (BCKC)/2. Так как KL = AL/2 и BC = AD/3 (из отношения сторон треугольника ABC), то площадь четырехугольника BCKL равна [(BLAL)/4 + (ADKC)/6]. Площадь трапеции ABCD равна (AD+BC)KC/2 = 9. Таким образом, (ADKC + BCKC)/2 = 9, откуда ADKC + BCKC = 18. Подставляя значения, получаем [(BLAL)/4 + 3KC)/6] = 18, BLAL + 23KC = 72, BLAL + 6KC = 72. Подставляем KL = AL/2 и KC = AL/3, получаем BL(2BL) + 6(AL/3) = 72, 2BL^2 + 2AL = 72, BL^2 + AL = 36. Таким образом, площадь четырехугольника BCKL равна 36.