В шар по одну сторону от центра проведены два параллельных сечения площади которых равны 40π см² и 4π...

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами геометрии шара и сечений.

1. Определение и свойства сечений шара: Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь этого круга связана с радиусом шара и расстоянием от центра шара до сечения. Формула площади сечения круга: [ S = \pi (R^2 - d^2), ] где ( R ) — радиус шара, ( d ) — расстояние от центра шара до плоскости сечения.

2. Дано:

   • Площадь первого сечения ( S_1 = 40\pi ) см²,
   • Площадь второго сечения ( S_2 = 4\pi ) см²,
   • Расстояние между сечениями ( h = 9 ) см.

3. Запишем уравнения для площадей сечений: [ S_1 = \pi (R^2 - d_1^2) = 40\pi, ] [ S_2 = \pi (R^2 - d_2^2) = 4\pi. ]

   Из этих уравнений можно выразить радиус шара ( R ) через расстояния ( d_1 ) и ( d_2 ): [ R^2 - d_1^2 = 40, ] [ R^2 - d_2^2 = 4. ]

4. Определим ( d_1 ) и ( d_2 ): Из двух уравнений выше получаем: [ d_1^2 = R^2 - 40, ] [ d_2^2 = R^2 - 4. ]

5. Расстояние между сечениями: Так как расстояние между сечениями равно 9 см, то [ |d_1 - d_2| = 9. ]

6. Подставим найденные ( d_1 ) и ( d_2 ) в уравнение для расстояния: [ | \sqrt{R^2 - 4} - \sqrt{R^2 - 40} | = 9. ]

7. Решим это уравнение: Введем замену: [ x = \sqrt{R^2 - 4}, ] [ y = \sqrt{R^2 - 40}. ]

   Тогда уравнение примет вид: [ |x - y| = 9. ]

   Рассмотрим два случая:

   • ( x - y = 9 ): [ \sqrt{R^2 - 4} - \sqrt{R^2 - 40} = 9. ]
   • ( y - x = 9 ): [ \sqrt{R^2 - 40} - \sqrt{R^2 - 4} = 9. ]

   Оба случая приводят к одному и тому же результату: [ \sqrt{R^2 - 4} - \sqrt{R^2 - 40} = 9. ]

8. Решим уравнение: Применим метод квадратов: [ (\sqrt{R^2 - 4} - \sqrt{R^2 - 40})^2 = 81, ] [ R^2 - 4 - 2\sqrt{(R^2 - 4)(R^2 - 40)} + R^2 - 40 = 81, ] [ 2R^2 - 44 - 2\sqrt{(R^2 - 4)(R^2 - 40)} = 81, ] [ 2R^2 - 125 = 2\sqrt{(R^2 - 4)(R^2 - 40)}, ] [ 2R^2 - 125 = 2\sqrt{R^4 - 44R^2 + 160}. ]

   Разделим обе части на 2: [ R^2 - 62.5 = \sqrt{R^4 - 44R^2 + 160}. ]

   Возведем обе части в квадрат: [ (R^2 - 62.5)^2 = R^4 - 44R^2 + 160, ] [ R^4 - 125R^2 + 3906.25 = R^4 - 44R^2 + 160, ] [ -125R^2 + 3906.25 = -44R^2 + 160, ] [ -81R^2 = -3746.25, ] [ R^2 = \frac{3746.25}{81} \approx 46.25, ] [ R \approx \sqrt{46.25} \approx 6.8 \text{ см}. ]

9. Найдем площадь сферы: Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: [ S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2. ]

   Подставим найденное значение ( R ): [ S_{\text{сферы}} = 4\pi \cdot 46.25 \approx 185\pi \text{ см}^2. ]

Таким образом, площадь сферы составляет ( 185\pi ) см².

Для решения данной задачи нам необходимо определить радиус шара. Пусть одно из проведенных параллельных сечений находится на расстоянии h от центра шара, а другое на расстоянии h+9 см. Так как площадь сечения пропорциональна квадрату расстояния от центра, то можно записать следующее уравнение: (πr^2 - 40π) / (πr^2 - 4π) = (h+9)^2 / h^2 r^2 - 40 = r^2 - 4(h+9)^2 / h^2 40 = 4(h+9)^2 / h^2 10 = (h+9)^2 / h^2 10h^2 = (h+9)^2 10h^2 = h^2 + 18h + 81 9h^2 - 18h - 81 = 0 h^2 - 2h - 9 = 0 (h-3)(h+3) = 0 h = 3 или h = -3 (отрицательное значение не подходит)

Теперь найдем радиус шара: r^2 = h^2 + 9h r^2 = 3^2 + 9*3 r^2 = 9 + 27 r^2 = 36 r = 6 см

Теперь можем найти площадь сферы: S = 4πr^2 S = 4π6^2 S = 4π36 S = 144π см²

Ответ: площадь сферы равна 144π см².

Для решения данной задачи нужно воспользоваться формулой для расчёта площади сферы: S = 4πR², где R - радиус сферы.

Площади сечений шара равны площадям кругов, образованных этими сечениями. Пусть R₁ и R₂ - радиусы этих кругов. Тогда: πR₁² = 40π, πR₂² = 4π.

Отсюда найдем радиусы: R₁ = √40 = 2√10 см, R₂ = √4 = 2 см.

Так как расстояние между сечениями равно 9 см, то R₁ - R₂ = 9. Отсюда R₁ = R₂ + 9. Подставляем найденные значения: 2√10 = 2 + 9, 2√10 = 11, √10 = 11/2, 10 = 121/4, 40 = 121.

Таким образом, радиусы сферы равны 2√10 и 2. Теперь можем найти площадь сферы: S = 4π(2√10)² = 4π*40 = 160π см².