В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность, которая касается его сторон в точках...

Периметр треугольника ABC равен 33 см.

Для решения задачи, связанной с вписанной окружностью в равнобедренный треугольник, нам нужно понять, как касательные к окружности и свойства равнобедренного треугольника взаимодействуют друг с другом.

Давайте обозначим:

• ( AB = BC = b ) — боковые стороны треугольника,
• ( AC = a ) — основание треугольника,
• ( D, F, G ) — точки касания окружности с ( AB, BC ) и ( AC ) соответственно,
• ( AG = 3 ) см,
• ( BF = 7 ) см.

Следует помнить, что касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны. Это означает, что:

• ( AG = AF ),
• ( BD = BF ),
• ( CG = CF ).

Из условий задачи имеем ( AG = 3 ) см и ( BF = 7 ) см. Так как ( AG = AF ), то ( AF = 3 ) см. Поскольку ( BD = BF ), то ( BD = 7 ) см.

Теперь нам нужно найти длины отрезков ( GD ) и ( GF ). Поскольку ( D, F ) и ( G ) — точки касания окружности, и они разбивают стороны треугольника на отрезки, равные по длине, можно ввести обозначения для части сторон треугольника:

• ( AD = x ),
• ( DB = y ),
• ( CF = z ).

Теперь запишем уравнения для сторон треугольника:

1. ( AD + DB = AB ),
2. ( CF + FG = BC ),
3. ( AG + GC = AC ).

Отрезки ( AD ) и ( DB ) равны, как и ( CF ) и ( FG ). Поскольку ( AD = AF ), то ( AD = 3 ) см. Поскольку ( DB = BF ), то ( DB = 7 ) см.

Теперь составим уравнение для периметра треугольника ( ABC ): [ P = AB + BC + AC. ]

Используя связи между отрезками, ( AB = AD + DB = 3 + 7 = 10 ) см. И так как треугольник равнобедренный, ( BC = AB = 10 ) см.

Теперь найдём ( AC ). Используя касательные, ( AG = GC = 3 ) см, то ( AC = AG + GC = 3 + 3 = 6 ) см.

Теперь можем вычислить периметр ( P ): [ P = AB + BC + AC = 10 + 10 + 6 = 26 \text{ см}. ]

Таким образом, периметр треугольника ( ABC ) равен 26 см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством равнобедренного треугольника, в котором биссектриса угла при основании является высотой и медианой.

Пусть радиус вписанной окружности равен r. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD = DC = r. Также известно, что AG = 3 см и BF = 7 см.

Теперь мы можем составить уравнения для периметра треугольника ABC: AB + BC + AC = 2r + 2r + 3 + 7 = 4r + 10.

Также мы можем выразить длины сторон треугольника через радиус вписанной окружности: AB = AG + BG = AG + BD = 3 + r, BC = BF + FC = BF + DC = 7 + r, AC = AG + GC = AG + FD = 3 + 7 = 10.

Подставим полученные значения в уравнение для периметра: 4r + 10 = (3 + r) + (7 + r) + 10 = 3 + r + 7 + r + 10 = 2r + 20.

Отсюда получаем, что 4r + 10 = 2r + 20, 2r = 10, r = 5.

Теперь мы можем найти периметр треугольника ABC: AB + BC + AC = 2r + 2r + 3 + 7 = 10 + 10 + 3 + 7 = 30.

Итак, периметр треугольника ABC равен 30 см.