В равнобедренном треугольнике основание 10 см. А высота проведённая к ней 12 см. Найдите радиус вписанной...

Давайте решим задачу, используя свойства равнобедренного треугольника, формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей.

Дано:

1. Основание треугольника: ( AB = 10 \, \text{см} ).
2. Высота, проведённая к основанию: ( h = 12 \, \text{см} ).

Найти:

1. Радиус вписанной окружности (( r )).
2. Радиус описанной окружности (( R )).

Шаг 1: Найдём боковые стороны треугольника

Высота ( h ) делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. Половина основания будет равна: [ \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}. ]

В прямоугольном треугольнике с катетами ( 5 \, \text{см} ) и ( 12 \, \text{см} ), гипотенуза (боковая сторона треугольника) найдётся по теореме Пифагора: [ AC = BC = \sqrt{h^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см}. ]

Боковые стороны треугольника равны ( AC = BC = 13 \, \text{см} ).

Шаг 2: Найдём площадь треугольника

Площадь ( S ) треугольника равна: [ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \, \text{см}^2. ]

Шаг 3: Найдём радиус вписанной окружности (( r ))

Радиус вписанной окружности ( r ) в треугольнике выражается через площадь ( S ) и полупериметр ( p ): [ r = \frac{S}{p}, ] где ( p ) — полупериметр треугольника: [ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 + 13 + 13}{2} = 18 \, \text{см}. ]

Подставляем значения: [ r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \, \text{см}. ]

Шаг 4: Найдём радиус описанной окружности (( R ))

Радиус описанной окружности ( R ) в треугольнике выражается через длины сторон ( a, b, c ) и площадь ( S ): [ R = \frac{abc}{4S}, ] где:

• ( a = 10 \, \text{см} ) — основание,
• ( b = 13 \, \text{см} ) и ( c = 13 \, \text{см} ) — боковые стороны.

Подставляем значения: [ R = \frac{10 \cdot 13 \cdot 13}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} = 7.04 \, \text{см}. ]

Ответ:

1. Радиус вписанной окружности: ( r \approx 3.33 \, \text{см} ).
2. Радиус описанной окружности: ( R \approx 7.04 \, \text{см} ).

Для решения задачи нам нужно найти радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника, основание которого равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, равна 12 см.

Шаг 1: Находим стороны треугольника

В равнобедренном треугольнике, обозначим основание как ( AB = c = 10 \, \text{см} ). Высота, проведенная к основанию ( AB ), обозначим как ( h = 12 \, \text{см} ) и пусть ( C ) - вершина треугольника, противоположная основанию.

Высота делит основание на две равные части, так что: [ AM = MB = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см} ]

Теперь можем найти длину боковой стороны ( AC ) с помощью теоремы Пифагора: [ AC = \sqrt{AM^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см} ]

Таким образом, стороны треугольника:

• ( AB = 10 \, \text{см} ) (основание),
• ( AC = BC = 13 \, \text{см} ) (боковые стороны).

Шаг 2: Находим площадь треугольника

Площадь ( S ) треугольника можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \, \text{см}^2 ]

Шаг 3: Находим периметр треугольника

Периметр ( P ) треугольника: [ P = AB + AC + BC = 10 + 13 + 13 = 36 \, \text{см} ]

Шаг 4: Находим радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности ( r ) можно найти по формуле: [ r = \frac{S}{s} ] где ( s ) - полупериметр треугольника: [ s = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{см} ]

Теперь подставим значения: [ r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \, \text{см} ]

Шаг 5: Находим радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности ( R ) можно найти по формуле: [ R = \frac{abc}{4S} ] где ( a = 10 \, \text{см} ), ( b = 13 \, \text{см} ), ( c = 13 \, \text{см} ).

Подставим значения: [ R = \frac{10 \cdot 13 \cdot 13}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24} \approx 7.04 \, \text{см} ]

Ответ

Таким образом, радиусы окружностей равнобедренного треугольника:

• Радиус вписанной окружности ( r \approx 3.33 \, \text{см} )
• Радиус описанной окружности ( R \approx 7.04 \, \text{см} )