В равнобедренном треуголььнике АВС с основанием АС серединный перепендикуляр стороны АВ пересекает основание...

Рассмотрим равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ) с основанием ( AC ). Пусть серединный перпендикуляр к стороне ( AB ) пересекает основание ( AC ) в точке ( P ). Дано, что угол ( \angle ABR = 52^\circ ).

1. Свойства серединного перпендикуляра:

   • Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка. Это значит, что ( RP = RB ).

2. Свойства равнобедренного треугольника:

   • В равнобедренном треугольнике ( \triangle ABC ) с основанием ( AC ), углы при основании равны: ( \angle BAC = \angle BCA ).

3. Рассмотрение углов:

   • Поскольку ( RP = RB ), треугольник ( \triangle ABR ) является равнобедренным с вершиной ( R ).
   • Учитывая, что ( \angle ABR = 52^\circ ), следовательно, ( \angle ARB = \angle ABR = 52^\circ ).

4. Найдем угол ( \angle ARP ):

   • В треугольнике ( \triangle ARB ), сумма углов равна ( 180^\circ ): [ \angle ARB + \angle ABR + \angle ARP = 180^\circ ] [ 52^\circ + 52^\circ + \angle ARP = 180^\circ ] [ \angle ARP = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ ]

5. Рассмотрение треугольника ( \triangle ABC ):

   • Поскольку ( P ) лежит на серединном перпендикуляре к ( AB ), точка ( P ) является также серединой отрезка ( AC ), но это не меняет равенства углов при основании.
   • Углы при основании равны, следовательно, ( \angle BAC = \angle BCA ).

6. Найдем угол ( \angle BCA ):

   • Учитывая, что линия ( RP ) является перпендикулярной, то угол ( \angle BCP = 90^\circ - \angle ARP = 90^\circ - 76^\circ = 14^\circ ).
   • Так как ( \angle BCA = \angle BAC ), и ( \angle ACB = \angle BCA ), то угол у основания ( C ) будет равен: [ \angle ACB = \angle BCA = 14^\circ ]

Таким образом, угол ( \angle C ) равен ( 14^\circ ).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство равнобедренного треугольника, а именно то, что биссектриса угла при основании является также медианой и высотой.

Поскольку угол АВР равен 52 градусам, то угол АРВ (внутренний угол треугольника) также равен 52 градусам, так как углы, образованные биссектрисой, равны.

Таким образом, угол ВАС (угол при основании) также равен 52 градусам, так как треугольник АВС - равнобедренный.

Итак, мы имеем, что угол С равен 180 - 2 * 52 = 76 градусов.

Ответ: угол С равен 76 градусов.