В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 12 см, меньший угол равен 60 градусов . Найдите периметр...

Для решения задачи находим периметр и площадь равнобедренной трапеции с основаниями 8 см и 12 см и меньшим углом, равным 60 градусам.

Шаг 1: Найдём высоту трапеции

Обозначим:

• длину большего основания ( BC = 12 ) см,
• длину меньшего основания ( AD = 8 ) см,
• длину боковых сторон ( AB ) и ( CD ).

Пусть ( AB = CD = a ). Проведём высоты из точек ( A ) и ( D ) на основание ( BC ), которые пересекают ( BC ) в точках ( E ) и ( F ) соответственно. Так как трапеция равнобедренная, эти высоты будут равны.

По условию, угол при основании ( AD ) равен 60 градусам, значит ( \angle DAE = 60^\circ ).

Треугольник ( ABE ) является прямоугольным с углом ( \angle DAE = 60^\circ ), значит:

• ( AE = EF = h ) — высота трапеции,
• ( BE = \frac{BC - AD}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2 ) см.

В треугольнике ( ABE ): [ \tan(60^\circ) = \frac{AE}{BE} ] [ \sqrt{3} = \frac{h}{2} ] [ h = 2\sqrt{3} ]

Шаг 2: Найдём боковые стороны трапеции

В треугольнике ( ABE ): [ AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} ] [ AB = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} ] [ AB = \sqrt{12 + 4} ] [ AB = \sqrt{16} ] [ AB = 4 \text{ см} ]

Шаг 3: Найдём периметр трапеции

Периметр ( P ) равнобедренной трапеции: [ P = AD + BC + 2AB ] [ P = 8 + 12 + 2 \times 4 ] [ P = 8 + 12 + 8 ] [ P = 28 \text{ см} ]

Шаг 4: Найдём площадь трапеции

Площадь ( S ) трапеции: [ S = \frac{1}{2} \times (BC + AD) \times h ] [ S = \frac{1}{2} \times (12 + 8) \times 2\sqrt{3} ] [ S = \frac{1}{2} \times 20 \times 2\sqrt{3} ] [ S = 20\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Ответ

Периметр трапеции: 28 см.

Площадь трапеции: ( 20\sqrt{3} ) см².

Для начала найдем высоту трапеции. Так как угол при основании равнобедренной трапеции равен 60 градусов, то он же и угол между боковым боковым и основанием, а значит, треугольник, образованный высотой, одним из оснований и половиной меньшего основания, является равносторонним. Таким образом, высота трапеции равна (8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}) см.

Теперь найдем длину бокового отрезка трапеции. Он равен (\sqrt{(\frac{12-8}{2})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + 48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}) см.

Периметр трапеции равен сумме всех сторон: (12 + 8 + 2\sqrt{13} + 2\sqrt{13} = 20 + 4\sqrt{13}) см.

Площадь трапеции можно найти по формуле: (S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h), где (a) и (b) - основания трапеции, а (h) - высота. Подставляем известные значения: (S = \frac{1}{2} \cdot (8 + 12) \cdot 4\sqrt{3} = 10 \cdot 4\sqrt{3} = 40\sqrt{3}) кв. см.

Итак, периметр трапеции равен (20 + 4\sqrt{13}) см, а площадь равна (40\sqrt{3}) кв. см.