В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием...

Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле: (a + b) * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота. В данном случае a = 2, b = 8, угол между боковой стороной и основанием равен 45 градусов, поэтому можно найти высоту трапеции по теореме синусов. После этого подставить значения в формулу и рассчитать площадь.

Для того чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нужно воспользоваться формулой: S = ((a + b) * h) / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Для начала найдем высоту трапеции. Разобьем трапецию на два прямоугольных треугольника по высоте, проведенной из вершины с углом 45 градусов. Таким образом, получим два равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами 3 и 6 (половина основания).

Теперь можем найти высоту треугольника, используя теорему Пифагора: h = √(3^2 + 6^2) = √(9 + 36) = √45 = 3√5.

Теперь можем найти площадь трапеции: S = ((2 + 8) 3√5) / 2 = (10 3√5) / 2 = 15√5.

Итак, площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 8 и углом 45 градусов равна 15√5.

Для решения задачи о нахождении площади равнобедренной трапеции, у которой основания равны 2 и 8, а угол между боковой стороной и основанием равен 45 градусов, будем следовать поэтапно.

1. Изобразим трапецию и обозначим её элементы: Пусть ( ABCD ) — трапеция, где ( AB ) и ( CD ) — основания, такие что ( AB = 8 ) и ( CD = 2 ). Пусть ( AD ) и ( BC ) — боковые стороны, и угол ( \angle DAB = 45^\circ ).

2. Проведем высоты от вершин ( B ) и ( C ) к основанию ( AD ): Обозначим точки пересечения высот с основанием как ( E ) и ( F ) соответственно. Тогда ( BE ) и ( CF ) — высоты трапеции. Из-за симметрии равнобедренной трапеции, эти высоты равны.

3. Рассмотрим треугольники ( \triangle ADE ) и ( \triangle CDF ): Поскольку ( \angle DAB = 45^\circ ) и угол ( \angle DAE ) прямой (высота), то ( \triangle ADE ) — прямоугольный треугольник с одним углом ( 45^\circ ). Это означает, что катеты этого треугольника равны, то есть ( DE = AE ).

4. Найдем длину катетов ( \triangle ADE ): Поскольку ( AD = BE = CF ) — высота трапеции, и ( DE = AE ), пусть ( DE = AE = x ). Тогда ( AD = x + x = 2x ).

5. Найдем ( x ) через основание ( AB ): Из симметрии трапеции, отрезки ( AE ) и ( BF ) делят основание ( AB ) на три части: ( AE + EF + BF ), где ( EF = CD = 2 ) и ( AE + BF = (8 - 2) / 2 = 3 ). Таким образом, ( AE = BF = 3 ).

6. Высота ( h ) трапеции: В треугольнике ( \triangle ADE ), по теореме Пифагора: [ AD^2 = AE^2 + DE^2 ] Так как ( AE = DE = 3 ), то: [ AD = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ]

7. Площадь трапеции: Площадь трапеции вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h ] Подставим известные значения: [ S = \frac{1}{2} \times (8 + 2) \times 3\sqrt{2} ] [ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 3\sqrt{2} ] [ S = 5 \times 3\sqrt{2} ] [ S = 15\sqrt{2} ]

Итак, площадь данной равнобедренной трапеции равна ( 15\sqrt{2} ) квадратных единиц.