В равнобедренной трапеции MNKP диагональ МК является биссектрисой угла при нижнем основании МР. Меньшее...

Для начала найдем высоту трапеции. Обозначим высоту трапеции как h. Так как MK является биссектрисой угла при основании MR, то угол MKN равен углу MKP, то есть угол MKN равен 2x, а угол MKP равен x.

Так как угол MKN равен углу MKP, то треугольник KMN равнобедренный, а значит KN = KM = 8 см. Также из условия известно, что один из углов в два раза меньше другого, то есть 2x = 2x, где 2x - больший угол, x - меньший угол. Тогда x = 30 градусов, а 2x = 60 градусов.

Теперь можем найти высоту трапеции с помощью треугольника KME. Так как трапеция равнобедренная, то ME будет высотой. Из прямоугольного треугольника KME с углом 30 градусов получаем, что ME = KN sin(30°) = 8 0.5 = 4 см.

Теперь найдем длину основания трапеции MR. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике KMR: MR² = KN² + KM² - 2 KN KM cos(60°) MR² = 8² + 8² - 2 8 8 0.5 MR² = 64 + 64 - 64 MR = √64 MR = 8 см

Теперь можем найти площадь трапеции по формуле S = (MR + NK) h / 2: S = (8 + 8) 4 / 2 S = 16 * 4 / 2 S = 64 / 2 S = 32 см²

Таким образом, площадь трапеции SMNKP равна 32 квадратным сантиметрам.

Далее найдем, в каком отношении высота KE делит основание MR. Так как треугольник KME прямоугольный, то высота KE делит основание MR на отрезки в отношении, равном отношению катетов прямоугольного треугольника: МЕ : ЕR = 3 : 1

Таким образом, высота KE делит основание MR в отношении 3 : 1.

Рассмотрим равнобедренную трапецию MNKP, в которой известно, что диагональ MK является биссектрисой угла при нижнем основании MP, а меньшее основание NK равно 8 см. Один из углов трапеции в два раза меньше другого. Нам нужно найти площадь трапеции и узнать, в каком отношении высота KE делит основание MP.

1. Углы трапеции: Пусть угол при основании MP, который делится диагональю MK, равен ( \alpha ). Тогда противоположный угол при основании MP будет равен ( 2\alpha ). Поскольку MK является биссектрисой угла ( \alpha ), противоположный угол при основании NK также равен ( 2\alpha ).

2. Свойства углов: В трапеции сумма углов при любом основании равна 180°. Следовательно, для углов при основании NK можно записать: [ 2\alpha + 2\alpha = 180^\circ \implies 4\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 45^\circ ] Таким образом, углы при основании MP равны ( 45^\circ ) и ( 90^\circ ).

3. Высота трапеции: Рассмотрим треугольник MKE, где KE - высота, проведенная из вершины K на основание MP. Поскольку угол ( \angle MKP = 45^\circ ), треугольник MKE будет прямоугольным с углом ( 45^\circ ).

   В прямоугольном треугольнике с углом ( 45^\circ ) катеты равны: [ KE = x, \quad ME = x ] Используя теорему Пифагора для треугольника MKE: [ MK = x\sqrt{2} ]

4. Основание MP: Поскольку KE делит MP на два отрезка, можем обозначить: [ ME + ER = MP ] Пусть ME = x, тогда ER = 3x (из условия ( ME : ER = 3 : 1 )). Следовательно, полное основание MP равно: [ MP = ME + ER = x + 3x = 4x ]

5. Выражение для высоты KE: Поскольку углы при основании NK равны ( 45^\circ ), высота KE: [ KE = \frac{NK}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} ]

6. Высоты и основания в трапеции: Площадь трапеции вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h ] где ( a ) и ( b ) - основания трапеции, а h - высота.

   В нашем случае: [ a = 8 \text{ см}, \quad b = 4x, \quad h = 4\sqrt{2} \text{ см} ]

7. Нахождение основания MP: Для нахождения MP, учитывая, что KE делит MP в отношении 3:1: [ x = 4\sqrt{2}, \quad MP = 4x = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \text{ см} ]

8. Площадь трапеции: Подставим значения в формулу площади: [ S = \frac{1}{2} \cdot (8 + 16\sqrt{2}) \cdot 4\sqrt{2} ] Раскроем скобки и упростим: [ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2} + \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} ] [ S = 16\sqrt{2} + 64 = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь трапеции ( SMNKP = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 ), а высота KE делит основание MP в отношении ( ME : ER = 3 : 1 ).