В правильном тетраэдре ABCD точка M середина ребра CB Найдите угол между прямыми AM и DC

Для решения задачи найдем угол между прямыми (AM) и (DC) в правильном тетраэдре (ABCD), где точка (M) — середина ребра (CB).

Шаг 1: Координаты вершин тетраэдра

Пусть центр тетраэдра находится в начале координат. Тогда можно задать координаты вершин так:

• (A = (1, 1, 1))
• (B = (1, -1, -1))
• (C = (-1, 1, -1))
• (D = (-1, -1, 1))

Эти координаты удовлетворяют условиям равенства всех рёбер и симметрии относительно центра.

Шаг 2: Координаты точки M

Поскольку (M) — середина ребра (CB), её координаты определяются как среднее арифметическое координат точек (C) и (B):

[ M = \left(\frac{1 + (-1)}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{-1 + (-1)}{2}\right) = (0, 0, -1) ]

Шаг 3: Векторы для прямых AM и DC

Теперь найдём векторы (\overrightarrow{AM}) и (\overrightarrow{DC}):

• (\overrightarrow{AM} = M - A = (0, 0, -1) - (1, 1, 1) = (-1, -1, -2))
• (\overrightarrow{DC} = C - D = (-1, 1, -1) - (-1, -1, 1) = (0, 2, -2))

Шаг 4: Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов (\overrightarrow{AM}) и (\overrightarrow{DC}) вычисляется как:

[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{DC} = (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 2 + (-2) \cdot (-2) = 0 - 2 + 4 = 2 ]

Шаг 5: Модули векторов

Найдём модули векторов (\overrightarrow{AM}) и (\overrightarrow{DC}):

[ |\overrightarrow{AM}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} ]

[ |\overrightarrow{DC}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

Шаг 6: Косинус угла между прямыми

Косинус угла между векторами (\overrightarrow{AM}) и (\overrightarrow{DC}) находим по формуле:

[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{DC}|} = \frac{2}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{6} ]

Шаг 7: Угол (\theta)

Таким образом, угол (\theta) между прямыми (AM) и (DC) равен:

[ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) ]

Это окончательный ответ на задачу.

Для нахождения угла между прямыми AM и DC в правильном тетраэдре ABCD сначала найдем угол между прямыми AM и AC, а затем угол между прямыми AC и DC.

Поскольку точка M - середина ребра CB, то AM будет медианой треугольника ABC. По свойству медианы треугольника медиана делит угол на два равных угла. Следовательно, угол между прямыми AM и AC будет равен углу MAC.

Так как тетраэдр ABCD правильный, то угол между прямыми AC и DC будет равен 60 градусов, так как это угол между двумя смежными ребрами тетраэдра.

Таким образом, угол между прямыми AM и DC будет равен половине суммы углов MAC и ACD, то есть (180° - 60°) / 2 = 60°.