В правильной усеченной четырехугольной пирамиде площади оснований равны 25 и 9 см2, а боковое ребро...

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной усеченной четырехугольной пирамиды, рассмотрим её основные геометрические характеристики и используем имеющиеся данные.

1. Инициализация данных:

   • Площадь нижнего основания $большегоквадрата$: $S_1=25{\text{см}}^2$
   • Площадь верхнего основания $меньшегоквадрата$: $S_2=9{\text{см}}^2$
   • Угол между боковым ребром и плоскостью нижнего основания: $\alpha ={45}^{\circ }$

2. Стороны оснований:

   • Сторона нижнего основания: $a_1=\sqrt{S_1}=\sqrt{25}=5\text{см}$
   • Сторона верхнего основания: $a_2=\sqrt{S_2}=\sqrt{9}=3\text{см}$

3. Высота пирамиды и боковое ребро:

   • Обозначим высоту пирамиды $перпендикулярноерасстояниемеждуоснованиями$ через $h$ и длину бокового ребра через $l$.

4. Связь между боковым ребром и высотой:

   • По условию угол между боковым ребром и плоскостью нижнего основания составляет ${45}^{\circ }$. Рассмотрим один из треугольников с боковым ребром: $\tan ({45}^{\circ })=1=\frac{h}{\frac{a_1-a_2}{2}}$
   • Решаем это уравнение для $h$: $h=\frac{a_1-a_2}{2}=\frac{5-3}{2}=1\text{см}$

5. Длина бокового ребра:

   • Используем теорему Пифагора для треугольника с боковым ребром, вертикальной высотой пирамиды и половиной разности сторон оснований: $l=\sqrt{{\left(\frac{a_1-a_2}{2}\right)}^2+h^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\text{см}$

6. Боковая поверхность:

   • Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды можно вычислить, рассматривая её как сумму площадей трапеций:
   • Периметры оснований: $P_1=4\cdot a_1=4\cdot 5=20\text{см}$ и $P_2=4\cdot a_2=4\cdot 3=12\text{см}$
   • Высота каждой боковой трапеции равна высоте усеченной пирамиды: $S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}(P_1+P_2)\cdot l=\frac{1}{2}(20+12)\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot \sqrt{2}=16\sqrt{2}{\text{см}}^2$

Ответ: Площадь боковой поверхности данной правильной усеченной четырехугольной пирамиды составляет $16\sqrt{2}{\text{см}}^2$.

Для вычисления площади боковой поверхности усеченной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой:

S = 1/2 $a+b$ l,

где S - площадь боковой поверхности, a и b - площади оснований, l - длина бокового ребра.

Из условия задачи у нас даны площади оснований a = 25 см2 и b = 9 см2, а также угол между боковым ребром и плоскостью нижнего основания α = 45 градусов.

Для нахождения длины бокового ребра l воспользуемся формулой:

l = √$a^2+b^2-2ab\ast cos(\alpha$),

l = √(25^2 + 9^2 - 2 25 9 cos$45°$) = √(625 + 81 - 450 0.7071) ≈ √$625+81-318.8$ ≈ √$387.2$ ≈ 19.68 см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

S = 1/2 $25+9$ 19.68 ≈ 1/2 34 19.68 ≈ 0.5 * 668.4 ≈ 334.2 см2.

Итак, площадь боковой поверхности усеченной четырехугольной пирамиды равна приблизительно 334.2 см2.