В правильной треугольной призме сторона основания равна 3см, а диагональ боковой грани составляет с...

Для решения задачи начнем с анализа данной информации и шагов, которые нужно выполнить.

1. Параметры задачи:

   • Сторона основания правильной треугольной призмы ( a = 3 ) см.
   • Диагональ боковой грани составляет угол 60 градусов с плоскостью основания.

2. Найдем высоту боковой грани:

   • Правильная треугольная призма имеет боковые грани в виде прямоугольников.
   • Диагональ боковой грани ( d ) составляет угол 60 градусов с плоскостью основания.

   Обозначим высоту призмы через ( h ).

   Диагональ боковой грани ( d ) и сторона основания ( a ) образуют прямоугольный треугольник, где гипотенуза ( d ) и один из углов 60 градусов. Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения высоты ( h ).

   В прямоугольном треугольнике: [ \cos(60^\circ) = \frac{a}{d} ] Поскольку ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ), имеем: [ \frac{1}{2} = \frac{3}{d} ] Отсюда: [ d = 6 \text{ см} ]

   Теперь используем ( \sin(60^\circ) ) для нахождения высоты ( h ): [ \sin(60^\circ) = \frac{h}{d} ] Поскольку ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), имеем: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{6} ] Отсюда: [ h = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см} ]

3. Найдем площадь одной боковой грани:

   • Боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами ( a ) и ( h ).
   • Площадь одной боковой грани: [ S_{боковой_грани} = a \times h = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

4. Найдем площадь всех боковых граней:

   • У правильной треугольной призмы три боковые грани.
   • Полная площадь боковых граней: [ S_{боковой_призмы} = 3 \times 9\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы составляет ( 27\sqrt{3} ) квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить высоту боковой грани правильной треугольной призмы.

Из условия известно, что сторона основания равна 3 см, а угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания равен 60 градусов. Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна диагонали боковой грани, катет равен радиусу вписанной окружности (половина стороны основания), а угол между гипотенузой и катетом равен 60 градусов.

Исходя из свойств прямоугольного треугольника, можем записать: cos(60°) = adjacent / hypotenuse cos(60°) = 3/2 adjacent = 2,7 см

Таким образом, высота боковой грани призмы равна 2,7 см.

Чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, нужно умножить периметр основания на высоту боковой грани: P = 3 + 3 + 3 = 9 см S = P h = 9 2,7 = 24,3 см²

Итак, площадь боковой поверхности данной призмы равна 24,3 см².