В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания рав- на 12, а высота призмы равна 2....

Для решения задачи можно воспользоваться сходством треугольников. Поскольку треугольники APQ и A1PQ подобны (по двум углам), то отношение сторон APQ и A1PQ равно отношению высот призмы к стороне основания, то есть 2/12 = 1/6. Зная, что AQ = 4, можно найти AP = 4/6 = 2/3 и A1P = 4 - 2/3 = 10/3. Таким образом, AM = AQ - MQ = 4 - 10/3 = 2/3. Затем, используя теорему Пифагора, находим BM = √(AB^2 - AM^2) = √(12^2 - (2/3)^2) = √(144 - 4/9) = √(129 5/9) = 11 2/3. Таким образом, расстояние от точки B до плоскости A1PQ равно 11 2/3.

Для решения задачи без использования объема можно воспользоваться свойством подобных треугольников.

Обозначим точку пересечения отрезка BM с плоскостью A1PQ как K. Так как треугольник ABM и треугольник AQK подобны (по двум углам), то можно записать пропорцию:

AB/AQ = BM/BK

Известно, что AB = 12 и AQ = 4, поэтому:

12/4 = BM/BK 3 = BM/BK

Теперь обратимся к подобным треугольникам AB1C1 и APQ. Так как у них соответствующие стороны пропорциональны, можно записать:

BC1/AP = B1C1/A1P

Известно, что BC1 = 12, B1C1 = 3, поэтому:

12/AP = 3/(2+KP)

Также, из подобия треугольников ABM и AQK можно записать:

3/BK = 4/KQ

Так как KQ = KP (так как KPQ прямой угол), то:

3/BK = 4/KP

Теперь, найдем BK и KP из системы уравнений:

3 = BM/BK 3/BK = 4/KP

Отсюда получаем, что BM = 3BK и KP = 4BK/3.

Теперь, подставим значения в уравнение BC1/AP = 3/(2+KP):

12/AP = 3/(2+4BK/3)

Полученное уравнение позволит нам найти расстояние от точки B до плоскости A1PQ без использования объема.

Для того чтобы найти расстояние от точки ( B ) до плоскости ( A_1PQ ) в правильной треугольной призме, можно воспользоваться векторным методом и не прибегать к вычислению объема. Вот шаги, которые помогут решить эту задачу:

1. Определяем координаты точек:

   • Треугольная призма имеет правильное основание ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ). Пусть ( A(0, 0, 0) ), ( B(12, 0, 0) ), ( C(6, 6\sqrt{3}, 0) ).
   • Точки ( A_1, B_1, C_1 ) будут на высоте ( z = 2 ), то есть ( A_1(0, 0, 2) ), ( B_1(12, 0, 2) ), ( C_1(6, 6\sqrt{3}, 2) ).
   • Точки ( P ) и ( Q ) отмечены на рёбрах ( B_1C_1 ) и ( AB ) соответственно:
     • ( P ) делит ( B_1C_1 ) в отношении ( \frac{3}{|B_1C_1| - 3} ). Длина ( B_1C_1 ) равна ( 12 ), следовательно, ( P ) делит ребро в отношении ( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} ). Координаты ( P ) будут ( P = B_1 + \frac{1}{3}(C_1 - B_1) ): [ P = (12, 0, 2) + \frac{1}{3}((6 - 12, 6\sqrt{3} - 0, 2 - 2)) = (10, 2\sqrt{3}, 2) ]
     • Точка ( Q ) делит ( AB ) в отношении ( \frac{4}{12 - 4} = \frac{1}{2} ). Координаты ( Q ): [ Q = A + \frac{1}{2}(B - A) = (0, 0, 0) + \frac{1}{2}(12, 0, 0) = (4, 0, 0) ]

2. Находим уравнение плоскости:

   • Найдём векторы ( \overrightarrow{A_1P} ) и ( \overrightarrow{A_1Q} ): [ \overrightarrow{A_1P} = (10 - 0, 2\sqrt{3} - 0, 2 - 2) = (10, 2\sqrt{3}, 0) ] [ \overrightarrow{A_1Q} = (4 - 0, 0 - 0, 0 - 2) = (4, 0, -2) ]
   • Векторное произведение ( \overrightarrow{A_1P} \times \overrightarrow{A_1Q} ) даёт нормальный вектор плоскости: [ \overrightarrow{N} = \overrightarrow{A_1P} \times \overrightarrow{A_1Q} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 10 & 2\sqrt{3} & 0 \ 4 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (2\sqrt{3} \cdot (-2) - 0, 0 - 10 \cdot (-2), 10 \cdot 0 - 4 \cdot 2\sqrt{3}) ] [ = (-4\sqrt{3}, 20, -8\sqrt{3}) ]
   • Уравнение плоскости имеет вид: [ -4\sqrt{3}x + 20y - 8\sqrt{3}z + D = 0 ]
   • Подставляем точку ( A_1(0, 0, 2) ) для нахождения ( D ): [ -4\sqrt{3} \cdot 0 + 20 \cdot 0 - 8\sqrt{3} \cdot 2 + D = 0 \implies D = 16\sqrt{3} ] [ -4\sqrt{3}x + 20y - 8\sqrt{3}z + 16\sqrt{3} = 0 ]

3. Находим расстояние от точки ( B ) до плоскости:

   • Расстояние от точки ( (x_0, y_0, z_0) ) до плоскости ( Ax + By + Cz + D = 0 ) вычисляется по формуле: [ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} ]
   • Подставляем координаты точки ( B(12, 0, 0) ) и коэффициенты уравнения плоскости: [ d = \frac{|-4\sqrt{3} \cdot 12 + 20 \cdot 0 - 8\sqrt{3} \cdot 0 + 16\sqrt{3}|}{\sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 20^2 + (-8\sqrt{3})^2}} ] [ d = \frac{|-48\sqrt{3} + 16\sqrt{3}|}{\sqrt{48 + 400 + 192}} = \frac{|-32\sqrt{3}|}{\sqrt{640}} = \frac{32\sqrt{3}}{8\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{3 \cdot 10}}{10} = \frac{4\sqrt{30}}{10} = \frac{2\sqrt{30}}{5} ]

Таким образом, расстояние от точки ( B ) до плоскости ( A_1PQ ) равно ( \frac{2\sqrt{30}}{5} ).