В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания 4,5. Найдите высоту.

Чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, начнем с анализа её структуры. В правильной треугольной пирамиде основание является правильным треугольником, а боковые ребра одинаковой длины.

1. Найдем высоту основания (правильного треугольника): Правильный треугольник можно разделить на два прямоугольных треугольника, проведя высоту из вершины к середине противоположной стороны. Длина высоты ( h ) правильного треугольника со стороной ( a ) вычисляется по формуле: [ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a ] В нашем случае сторона основания ( a = 4.5 ): [ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4.5 = \frac{4.5 \sqrt{3}}{2} = 2.25 \sqrt{3} ]

2. Найдем радиус вписанной окружности в основание: Радиус вписанной окружности правильного треугольника равен: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ] Подставим значение ( a = 4.5 ): [ r = \frac{4.5 \sqrt{3}}{6} = \frac{4.5 \sqrt{3}}{6} = 0.75 \sqrt{3} ]

3. Высота пирамиды: Высота пирамиды опускается от вершины пирамиды к центру основания. Она образует прямоугольный треугольник с высотой основания (которая делит основание на две равные части) и боковым ребром пирамиды. В этом треугольнике гипотенуза равна боковому ребру ( 7 ), а один из катетов равен радиусу вписанной окружности ( 0.75 \sqrt{3} ). Обозначим высоту пирамиды через ( H ).

   Применим теорему Пифагора к этому прямоугольному треугольнику: [ H^2 + (0.75 \sqrt{3})^2 = 7^2 ] [ H^2 + 0.5625 \cdot 3 = 49 ] [ H^2 + 1.6875 = 49 ] [ H^2 = 49 - 1.6875 ] [ H^2 = 47.3125 ] [ H = \sqrt{47.3125} ] Приблизительное значение: [ H \approx 6.88 ]

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды составляет примерно 6.88 единиц.

Для нахождения высоты правильной треугольной пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора.

Высота пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника, один катет которого равен половине бокового ребра (3.5) а другой - высоте пирамиды.

Таким образом, используя теорему Пифагора, найдем высоту h:

h^2 = (7)^2 - (3.5)^2 h^2 = 49 - 12.25 h^2 = 36.75 h = √36.75 h ≈ 6.06

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна приблизительно 6,06.