В правильной треугольной пирамиде боковая поверхность равна 27 дм^2 а периметр основания 18 дм. Найдите апофему и плоский угол при вершине пирамиды. Апофему я нашла, а вот с углом проблемы.
В правильной треугольной пирамиде боковая поверхность равна 27 дм^2 а периметр основания 18 дм. Найдите апофему и плоский угол при вершине пирамиды. Апофему я нашла, а вот с углом проблемы.
Для нахождения плоского угла при вершине пирамиды, нам необходимо воспользоваться формулой для нахождения высоты боковой грани пирамиды.
Высота боковой грани пирамиды (h) можно найти с помощью формулы: h = √(a^2 - (p/2)^2), где a - апофема пирамиды, p - периметр основания.
Известно, что боковая поверхность равна 27 дм^2, а апофема найдена. Используя формулу для площади боковой поверхности пирамиды, можно найти длину боковой грани (l): 27 = (p/2) l 27 = 9 l l = 3 дм
Теперь можем найти высоту боковой грани (h): h = √(a^2 - (p/2)^2) h = √(9^2 - 9^2) h = √(81 - 81) h = √0 h = 0
Таким образом, высота боковой грани пирамиды равна 0, что означает, что угол при вершине пирамиды является прямым (90 градусов).
Для нахождения плоского угла при вершине пирамиды воспользуйтесь формулой: tg(угол) = апофема / полупериметр основания где апофема - найденное значение, полупериметр основания = периметр основания / 2. Подставьте известные значения и найдите угол.
Для начала, давайте разберемся с данными задачи и найдем апофему (боковую высоту треугольника, образованного боковой стороной пирамиды и двумя радиусами, опущенными из центра основания к сторонам основания).
Шаг 1: Находим сторону основания пирамиды
Так как периметр основания правильной треугольной пирамиды равен 18 дм, то сторона основания (a) равна: [ a = \frac{18 \text{ дм}}{3} = 6 \text{ дм} ]
Шаг 2: Находим апофему пирамиды
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трех одинаковых треугольников. Если (A) — апофема пирамиды, то площадь одного бокового треугольника равна: [ S_\text{тр} = \frac{1}{2} \times a \times A = \frac{1}{2} \times 6 \times A = 3A ]
Так как площадь боковой поверхности равна 27 дм², то: [ 3 \times S_\text{тр} = 27 ] [ 3 \times 3A = 27 ] [ 9A = 27 ] [ A = 3 \text{ дм} ]
Шаг 3: Находим угол при вершине пирамиды
Воспользуемся свойствами равностороннего треугольника. Центральный угол, опирающийся на сторону основания, равен (120^\circ). Так как апофема (боковая высота) и высота основания (высота треугольника, опущенная из центра на сторону) образуют угол с одной из сторон основания, этот угол будет прямым.
Плоский угол при вершине пирамиды можно рассчитать, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды (найдем ее), радиусом вписанной окружности основания (равносторонний треугольник) и апофемой.
Радиус вписанной окружности (r) равностороннего треугольника: [ r = \frac{\sqrt{3}}{6} \times a = \frac{\sqrt{3}}{6} \times 6 = \sqrt{3} \text{ дм} ]
Высота ( h ) пирамиды из теоремы Пифагора в треугольнике, образованном радиусом вписанной окружности, апофемой и высотой пирамиды: [ h = \sqrt{A^2 - r^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6} \text{ дм} ]
Теперь угол при вершине (\theta) (угол между апофемой и радиусом вписанной окружности) можно найти через тангенс: [ \tan \theta = \frac{h}{r} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} ]
[ \theta = \arctan(\sqrt{2}) \approx 54.74^\circ ]
Таким образом, угол при вершине пирамиды примерно равен 54.74 градуса.
